Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Отсюда видно, что при такой форме исходного дифференциального уравнения члены, соответствующие потокам через грани смежных ячеек, взаимно не уничтожаются, например

Н+2, - = - Ф О, (3.47b)

за исключением частного случая, когда щ = const. Значит, в этом случае конечно-разностный аналог оказывается не в состоянии обеспечить выполнение формулы Остроградского - Гаусса для дифференциального уравнения. Теперь становится ясным смысл терминов «консервативная» или «дивергентная» форма уравнения (2.10).

В первом случае консервативность обеспечивается применением метода контрольного объема при выводе конечно-разностных выражений. При использовании консервативной формы конвективный поток величины , вытекающий через грань i + V2 из контрольного объема с центром в точке i за единицу времени, составляет 72("iSi + "i+iCj+i) и в точности равен конвективному потоку, втекающему через ту же грань в контрольный объем с центром в точке t -f 1 за единицу времени. Как показано выше, в случае неконсервативной формы это не имело бы места.

Упражнение. Показать, что использование для д%1дх выражения (3.12) с центральными разностями при а > О обеспечивает консервативность для диффузионных членов.

Ясно, что при а > о единственный путь обеспечить сохранение суммарного потока в общем случае (когда и является функцией пространственной переменной) заключается в независимом сохранении конвективных и диффузионных членов; в неодномерном случае необходимо обеспечить консервативность этих членов отдельно по каждой пространственной переменной.

Важность свойства консервативности легко понять на примере уравнения неразрывности для сжимаемой среды. Рассмотрим задачу об естественной конвекции в полностью замкнутом сосуде с непроницаемыми стенками. В начальный момент времени считаем, что во всем объеме V = 0. К нижней стенке сосуда подводится тепло, и происходит естественная конвекция, возможно достигающая стационарного состояния. Если для расчетов принимается какая-либо неконсервативная схема (см. задачу 3.2), то полная масса в исследуемом объеме будет меняться. Если же используется консервативная схема, то полная масса не будет меняться , (без учета машинных ошибок округления). Некоторым утешением в первом случае может служить тот факт, что ошибки, вызванные нарушением сохранения



массы, уменьшаются при Лх->-0, но в практических вычислениях с конечной величиной Лх такое утешение является слабым.

Эти соображения мы считаем существенными и настоятельно рекомендуем применять консервативные схемы. Однако здесь имеются доводы и за и против, причем примеры численных контрольных расчетов, опубликованные в литературе, не дают возможности сделать однозначный выбор. Обратимся к этим доводам и к результатам контрольных расчетов.

Свойство консервативности не обязательно связано с повышением точности схемы. Например, неустойчивые решения консервативных уравнений сохраняют свойство консервативности. Более того, неконсервативный метод может быть в некотором смысле точнее консервативного. Например, для представления функций по значениям в узлах сетки можно было бы применять одномерные аппроксимации полиномами высокого порядка и при этом производные по пространственным переменным будут, вероятно, определяться с ошибкой более высокого порядка (см. Томас [1954]). Однако построенная таким образом схема может быть неконсервативной, а если критерий точности включает условие консервативности, то неконсервативная схема окажется менее точной.

До сих пор опыт показывает, что консервативные схемы, вообще говоря, дают более точные результаты. Чен [1968] и Аллен [1968 показали, что с помощью консервативной схемы получаются существенно более точные результаты для некоторых решений уравнения Бюргерса (2.19) и (2.20). Сайрус и Фалтон [1967] выяснили, что для эллиптических уравнений консервативная схема дает более точные результаты, чем неконсервативная. На примере задачи о течении внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей Торранс с соавторами [1972] убедились в том, что даже схема первого порядка точности для уравнений в консервативной форме дает более точные результаты, чем схема второго порядка для уравнений в неконсервативной форме. Преимущества расчета ударных волн при консервативной форме уравнений (Гари [1964]) хорошо известны (они будут рассматриваться в гл. 5), однако следует заметить, что в работе Гари волны разрежения несколько точнее рассчитывались по неконсервативной схеме. Кроме того, дивергентная форма уравнений более осмысленна физически и облегчает постановку граничных условий для течений сжимаемой жидкости.

Пиачек [1966] показал, как вывести консервативные уравнения в осесимметричном случае. Роберте и Вейс [1966] обсужда-



) Для построения консервативных разностных схем А. Н. Тихонов и А. А. Самарский развили интегро-интерполяционный метод. Консервативные схемы разрабатывали эти авторы, Г. И. Марчук, И. В. Фрязинов и др.

Для одномерной нестационарной газовой динамики Ю. П. Попов и А. А. Самарский (Ж- вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т. 9, Ni 7) предложили полностью консервативные схемы. В схемах такого типа обеспечивается не только сохранение полной энергии, но и выполняются дополнительные балансы по отдельным видам энергии (внутренней и кинетической).-Лрыж. ред.

) Обычно обусловленной непостоянством коэффициентов, а не настоящей нелинейностью.

) Количественное понятие полной статической устойчивости (gross static stability) было введено Э. Лоренцем (Lorenz Е. N. - Tellus, 1960, v. 12, No. 4, 364-373). - Прим. перев.

ли консервативность для векторных величин. Лаке [1954] первым использовал в конечно-разностных вычислениях консервативную форму уравнений движения сжимаемого газа, предложенную Курантом и Фридрихсом [1948], и детально исследовал свойство консервативности).

Метеорологи распространили идею консервативности на величины, связанные с количеством движения. Брайен [1963, 1966] предложил схемы, обеспечивающие сохранение не только вихря, но и кинетической энергии. Схема Аракавы [1966] (см. также Лилли [1965] или Фромм [1967], а также разд. 3.1.2) сохраняет вихрь, квадрат вихря, количество движения и кинетическую энергию. Но такие дополнительные усложнения схем не всегда оправданы и выгодны. Бенгтсон [1964] показал, что подобные усложненные схемы дают небольшие улучшения, незначительные по отношению к истинным данным, и в то же время могут привести к большим ошибкам в скорости волн. Однако в предельном невязком случае сохранение кинетической энергии дает возможность избежать «нелинейной» неустойчивости 2), рассмотренной в работах Филлипса [1959] и Санд-квиста [1963]. Бенгтсон [1964] предложил схему, сохраняющую разность между кинетической энергией и (метеорологической) полной статической устойчивостью), что полезно в задачах с большими градиентами силы тяжести.

Обычно схемы, обеспечивающие сохранение основных величин, таких, как вихрь, масса, количество движения или полная энергия, не требуют большого труда. В двумерной задаче о переносе вихря дополнительная работа заключается в выполнении двух лишних конечно-разностных операций для получения составляющих скорости из решения для функции тока и двух лишних умножений. В задачах о движении сжимаемой среды дополнительная работа больше, что в некоторых случаях может оказаться причиной отказа от применения консервативной схемы (см. метод Моретти, гл. 6). При решении многих задач консер-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199