Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 [ 138 ] 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

мации на самом деле не улучшается, а ухудшается). Так, Краудер и Дальтон [1969] провели численный эксперимент с пятью различными сетками с локально меняющимся niaroM и пришли к выводу, что для рассматриваемой ими частной задачи наиболее точные результаты дает расчетная сетка с постоянным шагом (см., однако, Блоттнер и Роуч [1971]). Напомним также о явлении отражения волн от места изменения шага сетки, упоминавшемся в разд. 5.4.4. Однако при расчетах было обнаружено, что потеря точности всего решегпщ, особенно при изолированном изменении шага сетки, не столь велика, как это следует из формулы для ошибки аппроксимации (см., например, Мак-Кормак [1971], Шаве и Ричарде [1970], Магнус и Иоси-хара [1970]). Хотя вопрос окончательно ие исследован, но уже ясно, что обычно предпочтительный метод повышения локальной разрешающей способности сетки заключается в преобразовании координат, которое будет рассматриваться в разд. 6.2. Но прежде мы рассмотрим еще ряд вопросов, связанных с расчетными сетками.

Геометрические схемы для одновременного изменения величин обоих шагов Дл- и Ду рассматривались в работах Синнота [1960], Ранчела с соавторами [1969], Гиллиса и Лирона [1969], Кейкера п Уайтло [1970], Даусона и Маркуса [1970]. Бахвалов [1959] использовал мелкую сетку с формулами второго порядка у границ, стыкующуюся с грубой сеткой с формулами более высокого порядка во внутренних точках. Преимущества однократного изменения размера ячеек по сравнению с непрерывным изменением обсуждались в работе Робертса [1971]. Проблемы стыковки сеток для схемы Лакса - Вендроффа (разд. 5.5.5) рассматривал Саймент [1968]. Спеньер [1967] рассматривал методы чередующихся направлений (разд. 3.1.16 и 3.2.6) на сетках с меняющимся шагом. Бёрдсли [1971] применял полярную сетку с постоянным шагом по углу и с параболическим изменением шага по радиусу; в случае невязкой жидкости для решения уравнения вихря около точки г = О здесь потребовались некоторые модификации.

Изменение пространственной сетки для решения, развивающегося во времени, часто оказывается желательным для более подробного описания областей с резко меняющимися в пространстве градиентами. Преобразование решения уравнений из

) Схемы конечно-разностного представления конвективных членов, которые имеют первый порядок точности иа равномерных расчетных сетках (конечные разности против потока), ие ухудшаются при изменении шага сетки, в то время как схемы представления диффузионных членов ухудшаются. Для получения второго порядка точности требуются четырехточеч-иые формулы (см. Саусвелл [1946]). Пирсон [1968] использовал трехточечные формулы на сетках с автоматически изменяющимся шагом для квазиодиомериого расчета распространения ударной волны.



ОДНОЙ сетки в другую называется перестройкой ячеек. Перестройка ячеек сама но себе может изменить решение, внося, например, сглаживающий эффект (в некотором роде искусственная диффузия) или ошибки, связанные с нарушением консервативности. Разработка машинных программ, осуществляющих перестройку ячеек в зависимости от развития во времени решения, является важной и интересной проблемой (см. в этой связи работы Месона и Торна [1970], Батлера [1971] и Кроули [1971]).


Рис. 6.2. Точки нерегулярной границы иа прямоугольной сетке.

Приведенные выше формулы, применимые в случае неременных Кх и Лг/, исиользовались также для описания нерегулярных границ на прямоугольной сетке. Как показывает рнс. 6.2, для того чтобы значения в смежной с границей точке (/, /) согласовывались с значениями в точках bi и 62, требуются формулы с меняющимися величинами Ах и Ас/. Эта процедура предложена давно и иногда дает, но-видимому, вполне удовлетворительные результаты (см., например, работы Сальвадори и Барона [1961], Томана и Шевчика [1966], Синглтона [1968], Техейры [1966] и Даусона и Маркуса [1970] для сеток в декартовых координатах, а также работу Лизена [1964] для цилиндрической функции тока при нерегулярной границе). Однако мы настойчиво рекомендуем воздерживаться от этой процедуры по следующим причинам.

(1) Формальный порядок ошибки аппроксимации, как показано выше, увеличивается. Заметим, что для произвольной искривленной границы тина крылового профиля (Синглтон [1968]) в общем случае в равномерной сетке может обнаружиться не-



которая внутренняя узловая точка, расположенная очень близко к границе; при этом величины Дхг/Дх! и Дг/г/Ду! становятся весьма малыми и, следовательно, формальный порядок ошибки анпроксимации существепио возрастает.

(2) Скорость сходимости уменьшается (Техейра [1966]), и часто бывает трудно определить оптимальные релаксационные параметры (разд. 3.2.4, 3.2.6, 3.2.7).

(3) Условия устойчивости могут стать весьма жесткими. Заметим, что обычное ограничение по числу Куранта дает неравенство At Ах/и (или его двумерный аналог). Если уменьшать величину Ах возле границы, то максимум величины At может быть ограничен этим локальным условием. Если имеются границы с условиями прнлппанпя, то ограничение, накладываемое на конвективные члены, может и не быть чрезмерным, так как величина и также локально мала; однако для вязких членов и для границ со скольжением эти локальные условия, по-видимому, будут играть решающую роль.

(4) Программа становится более сложной, и поэтому увеличивается как затрачиваемое на ее составление время, так и вероятность появления ошибок.

Проблемы аппроксимационной сходимости решений эллиптических уравнений при нерегулярных границах иа прямоугольных сетках обсуждались в работах Турайсами [1969а, 19696]. Сходимость итеративного процесса решения эллиптических уравнений с градиентными граничными условиями на искривленной поверхности рассматривалась в работе Метина [1968]. Всем, кто применяет этот подход, молено рекомендонать ознакомиться с приведенным в работе Чена с соавторами [1969] подробным описанием проблем, возникающих при использовании прямоугольных сеток в расчетных областях с границами в виде искривленных свободных поверхностей.

Другим методом описания нерегулярных границ является метод локальной привязки к дайной границе криволинейной четырехугольной сетки. Заманчив метод, в котором используется автоматическое построение сеток посредством разбиения области эквипотенциальными линиями (Уинсло [1963], Сакетт и Хили [1969]), причем положение узлов сетки иаходится из решения эллиптического уравнения на равномерной сетке. Годунов и Прокопов [1968] рассмотрели локальные криволинейные неортогональные сетки для решения обобщенного уравнения Лапласа (с переменными коэффициентами).

Как и в случае методов для получения высокой локальной разрешающей способности, наиболее предпочтительным методом рассмотрения непрямоугольных границ является метод выбора непрямоугольной системы координат (или преобразования



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 [ 138 ] 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199