Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [ 135 ] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

b рХ

• -Характеристли

В простой бо/ше



Характеристики

7 ГТУ

Рис. 5.7. Постановка условия иа верхней границе при помощи приближения простой волны, а - приближение простой волны для течения вблизи верхней границы; 1иг=1р, fp = fi-i, J-1+ (/A*)(f(, -fi-i, б - действитель-

ное течение типа простой волны.

(!Хм + 6)рС направлением оси х, причем [хм = arc sin(1/М) - угол Маха ) и 6 = arctg(u/u) -угол наклона вектора скорости к оси X. Величины углов цм и 6 в точке р, а также значения всех других параметров течения в этой точке fp = Pp, Up, Vp, Тр вычисляются линейной интерполяцией по их значениям в узлах (1-1,7-1) и (i,/-l).

В простой волне параметры течения постоянны вдоль характеристики. Поэтому, если положение точки р определено, то условие на верхней границе запишется в виде

./ = /p = /ft+д7(/с-М. где f = p,u,v,T. (5.177)

Положение точки р можно определить следующим образом В узле ft = (i - 1, / - 1) вычисляется величина a)==tg(nM -f 6).

1) Очевидно, что Рм не существует при М < 1.



Если сог, > Ау/Ах, то точка р находится между точками бис, как это показано на рис. 5.7. В точках бис вычисляется величина со= tg[n/2 - (хм + 8)], а затем расстояние / находится из соотношения

Ах/Ау-(й

1 = 7-,-7ч-• (5.178а)

(а);-а))/Дх-Ы/Д(/

Если т AylAx, то точка р лежит выше точки (i-1,/-1) и отстоит от нее на расстояние /, причем

1 Д/Дх-,

Здесь величина соа вычисляется в предыдущей точке верхней границы, причем процесс построения граничного условия осуществляется последовательными шагами слева направо. Первая точка верхней границы (1,/) берется на входной границе.

В случае пересечения границы В 3 ударной волной или менее сильной волной сжатия в точке (i, /) могут пересечься две характеристики одного семейства; тогда можно предпочесть методы выделения скачков, однако и более простая процедура, онисанная выше, обеспечивает однозначное задание граничного условия.

Эту процедуру применяли Аллен [1968], Аллен и Чен [1970], Роуч и Мюллер [1968], а также Гудрич [1969]. В сочетании с тремя различными конечно-разностными схемами во внутренних точках она давала устойчивые и реалистические результаты. Существенно, однако, чтобы граница В 3 не лежала внутри пограничного слоя, иначе можно получить абсурдные результаты.

При расчете обтекания затупленного тела Лапидус [1967] применил линейные экстраполяции вдоль диагоналей сетки, положив

/л/=-2/.-1./-1---2,/-2. (5-179)

что равнозначно приближению простой волны в случае совпадения характеристик с диагоналями расчетной сетки. На рангшх стадиях вычислений метод (5.179) приводил к неустойчивости и был заменен следующим;

f,; = f, ,, , + r(f, ,, ,-/, 2,, 2). (5.180)

Для обеспечения устойчивости Лапидус в течение первых 500 шагов по времени медленно менял г от г = 0.5 до г = 1 (что дает формулу (5.179)). Итон и Цумвальт [1967] обнаружили, что квадратичная экстраполяция типа (5.172) приводит к неустойчивости при пересечении границы ВЗ ударной волной И



С успехом использовали на этой границе свои условия па выходе (см. предыдущий раздел). Эрдош и Заккаи также применяли на верхней границе свои условия для выходной границы, предполагая, что па ней нет скачков.

5.8. Критерии сходимости и начальные условия

Многие из замечаний разд. 3.4 и в особенности то обстоятельство, что не сушествует объективных удовлетворительных критериев ни итерационной, ни аппроксимационной сходимости, относятся и к течениям сжимаемой жидкости. Вопрос об итерационной сходимости (об установлении решения по времени) в случае течения сжимаемой жидкости дополнительно усложняется наличием большего числа искомых функций (например, давление устанавливается медленнее, чем плотность) и появлением нового характерного времени - времени прохождения волны давления через расчетную область. Росс и Чен [1970] отметили, что в сверхзвуковых течениях вязкого газа можно ожидать очень долгого затухания нестационарных процессов, а это делает суждение об установлении еще более затруднительным. В этой связи можно было бы рекомендовать сравнение окончательных стационарных решений, полученных при различных начальных условиях (хотя бы для некоторого контрольного варианта задачи).

К несчастью, представляется, что для сверхзвуковых течений задача с начальными условиями будет более критической в смысле устойчивости, чем для течений несжимаемой жидкости. В литературе приводится много примеров неустойчивости при одних начальных условиях и устойчивости при других. Эта неустойчивость по определению обусловлена нелинейностью, однако, как отметил Моретти [1968а, 19686], в некоторых случаях источником такой неустойчивости может являться н неправильная постановка граничных условий. Верно, однако, и то, что подобные неустойчивости по крайней мере усугубляются, а быть может, и полностью порождаются распространением ложных ударных волн, связанных с неправильными начальными условиями.

В том случае, когда интерес представляет только стационарное решение, существуют три способа уменьшить влияние начальных условий. (1) Расчет можно начинать с малыми значениями At. Этот способ часто приводит к большим затратам машинного времени. (2) Расчет можно начинать с искусственно заниженным значением числа Рейнольдса, постепенно доводя его в процессе расчета до желаемого значения. (3) Расчет можно начинать по другой схеме, обладающей большим пскусствен-ным демпфированием. .Это легко осуществимо для схем с явной



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [ 135 ] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199