Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

i,W 1+1,111

/ / /

1,Ш+1

Геометрия гибридной сетки показана на рис. 5.5, а. Переменные и, V, Т определены в узлах сетки, обозначенных темными кружками, а плотность р-в узлах, обозначенных крестиками.

(Эта сетка отличается от сетки, используемой в методе частиц в ячейках в разд. 5.5.3, где в одних узлах определены плотность и энергия, а в других - составляющие скорости.)

Используя контрольный объем, легко вывести уравнение неразрывности во внутренней узловой точке Х-сетки. Например, поток в ячейку с центром в точке (t,/)х через левую сторону равен

риАг/ = 72(р 1,у-Ь

(5.149)

где верхний индекс X означает, что соответствующая величина определена на X-сетке. Значения р в равенстве (5.149) определены в соответствии с аппроксимациями центральными разностями второго порядка точности. Для второй схемы с конечными разностями против потока мы имели бы

p«A;/ = p>< j .. 72(и. +

+ «,,1)Аг/. (5.150)

Полное уравнение неразрывности в представлении по схеме с конечными разностями против потока в предположении и > О и ч > О принимает следующий вид (индекс п в правой части опущен):

Pf.r = Pf.l - [/2 + + 0 РУ - /2 +

+ y + l) P-l i - [/2 (f i + 1+1+c. l + l) Pf. 1 -

-V2(4,+,/ + 4,)p JAr/. (5.151)

•~•-i,W 1,Ш

Рис. 5.5. Гибридная расчетная сетка. Значения и, v и Т определяются в точках, отмеченных темными кружками, значения р - в точках, отмеченных крестиками.



Ьу 1.т+\ А?/

Значение давления в верхней точке вычисляется по формуле

Pi. »+3/2 = /2 [Pi, w + 2 + Pi. ш+\). (5.155)

Значение давления в нижней точке вычисляется при помощи интерполированных значений р и Г в соответствующих расчет-

) В схеме оТякса можно положить рг, ., ) = pi,

Так же легко записать конечно-разностную форму уравнения неразрывности на гибридной сетке с использованием других конечно-разностных схем.

Упражнение. Записать на гибридной сетке конечно-разностную форму уравнения неразрывности по схеме Лакса (разд. 5.5.4).

Если возникает необходимость определить значения плотности р на ф-сетке, то их можно найти осреднением:

р, = А (р,; + / + р<,--, + рГ-,, (5.152)

Значения плотности около границ определяются просто. На правой, левой и верхней сторонах ячейки с центром в точке {i, w)x, изображенной на рис. 5.5, а,. плотность находится так же, как и во внутренних ячейках, а поток через нижнюю сторону равен нулю, поскольку (иг, w + Ui+i, w) /2 = 0. Если ввести фиктивный узел (/, w - 1)х и приписать ему некоторое произвольное конечное значение плотности p, ,, то в узле (/, w) можно применять те же конечно-разностные представления, что и во внутренней области).

Мы еще не рассмотрели вопроса об определении значения р на стенке в ф-сетке. Его можно, конечно, экстраполировать по значениям плотности во внутренних Х-узлах, однако существует другой простой и более удобный способ. Действительно, при условии прилипания плотность на стенке необходима лишь для определения градиента давления 8P/5y\i, w+i- Простейшим способом аппроксимации градиента давления является представление его односторонними разностями, что приводит к первому порядку точности. Мы предлагаем определять градиент давления из найденных величин; при этом значения р,-, на •-сетке знать не нужно. Вместо аппроксимации

ЬР ( Pi, W+2 - Pi, W ,r , ro\

возьмем первую конечно-разностную формулу, записанную для T04QK с полуцелыми индексами (см. рис. 5.5, б) и соответствующую величину градиента Р будем обозначать тильдой сверху:

Pi.w+m -Pi,w+m (5 154)



ных сетках с использованием безразмерной газовой постоянной Rg.

Pi .+./2 = Pg V2 (рГ-,, . + рГ.) • V2 {Т, + г, (5-156)

Таким образом легко вычислить градиент давления у стенки, не находя значений р, w на •-сетке.

Применение гибридной сетки достаточно эффективно, хотя и имеет некоторые недостатки (см разд 3 3 2). Так, например, значения р на входной границе потока приходится определять на линии, отстоящей на Ах/2 от линии, на которой определяются значения и, v и Т

Рассмотрим теперь способ, также основанный на идее гибридной сетки, но алгебраически отличный от описанного выше

Для построения графиков распределения плотности вдоль стенки могут потребоваться значения р,, w на Ф-сетке Здесь допустима любая экстраполяция, однако больший смысл имеет определение р, w при помощи равенства (5 154). При таком подходе можно упразднить Х-сетку и для вычисления значений р во внутренних точках на •-сетке использовать стандартные конечно-разностные представления. Однако около границ вводится местная Х-сетка, на которой рассчитываются значения р.

Определим

p.ir = А(р:. + р?,+, + PU ш + р?-! р«!ш ~ А(р"+ w ~Ь р1+\ w+\ ~Ь рГ и)~Ь рГ,jg

A (P "i+2,w "b P"+2 w + \ ~b P"-H w + Pl+\,w+\) Pfw + l ~ A (P-l-l w + l + Pi + l w + 2 "b P" w + l "b P" ш-1-2)-

Теперь для вычисления pj„"+ вблизи стенки можно воспользоваться конечно-разностным представлением уравнения неразрывности типа (5.151) После того как из уравнения энергии найдены новые значения температуры, по формуле (5 154) можно вычислить 6Р"+/бг/г, н затем найти значение р"» на •-сетке из требования, чтобы градиенты давлений, определяемые по формулам (5 153) и (5 154), были равны

~PIy\i.w+ = P/ylw+v (5-158)

Это дает новое значение давления (на (п + 1)-м слое)

Pi.w--Pш+,+ А R, (рГ- ,, W + р.\) {Т.+ + Т, j (5.159) и, наконец,

Pi.w-Pi.w/iRgTi, (5.160)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199