Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [ 130 ] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Если же задано число Нуссельта

то получим

(5.139) (5.140)

Комбинация соотношений (5.135) и (5.1366) дает нулевой поток массы в направлении у при w + /2 Для случая стенки со скольл<ением. Но в случае стенки с прилипанием потоки в направлении у составляющих количества движения в направлении л: и в направлении у будут получаться с ошибкой. Следуя выводу выражения (5.123), получаем

(5.141)

что опять является аппроксимацией точных граничных условии, так как член в квадратных скобках стремится к пулю при Ау- -0. Ошибка аппроксимации для составляющей количества дви-ження в направлении у может даже быть меньше; действительно, в стационарном случае уравнение неразрывности

др д (ри) д (ру) „

для стенки с прилипанием сводится к условию

Далее,

дУ , др

= 0.

= 0,

или (поскольку UcT = 0)

= 0.

(5.142а)

(5.1426) (5.143)

(5.144)

Таким образом, ошибка аппроксимации первого порядка в выражении (5.123) в стационарном случае будет равна нулю. Можно показать, что ошибка аппроксимации в стационарном случае имеет вид

ir = - {1>„Ш I + о (Ау) }. (5Д45)

где в фигурных скобках стоит ошибка в величине потока по нормали к стенке составляющей количества движения в направлении у.

Хотя ошибки в определении потоков количества движения, даваемые выражениями (5.141) и (5.123) или (5.145), являются



) Роуч и Мюллер [1970] не обнаружили отрицательных значений плотности, возможно, из-за грубости расчетной сетки.

приемлемыми, их можно избежать. Мол<но рекомендовать изменить выражения в точке + 1, явно положив соответствующие потоки равными нулю. Как показывает следующее ниже упражнение, аналогичное положение справедливо и для уравнения энергии.

Упражнение. Рассматривая уравнение энергии, показать, что способ отражения дает правильное нулевое значение потока величины Es + Р в направлении у на стенке только в частном случае адиабатической стенки (Nu = 0). (Для более общего вида температурных условий на стенке этот поток следует явно полагать нулевым.)

Применение стандартных конечных разностей с отраженными значениями функций не дает также правильной величины градиента давления dP/dy\w+i. В случае расчетной сетки второго типа рекомендуется обратиться к односторонним конечным разностям для дР/ду, что, к сожалению, дает аппроксимацию градиента давления лишь первого порядка:

L,==t + 0(A,). (5.146)

Была показана устойчивость этого способа даже при отрывных течениях (Аллен [1968], Аллен и Чен [1970], Роуч и Мюллер [1968, 1970]). Аллен [1968], Скоглунд и Гей [1968] предложили рассчитывать градиент давления по уравнению составляющей количества движения в направлении у, записывая его через односторонние конечные разности; однако не представляется, что этот способ быстро ведет к цели.

Аллен [1968] применил улучшенный способ расчета конвективных потоков около стенки с прилипанием в расчетной сетке второго типа. Он обнаружил, что в задаче обтекания обратного уступа, показанного на рис. 3.22, на верхней части уступа (граница В 5) иногда могут возникать отрицательные значения плотности. Эта тенденция усиливается при уменьшении числа Рейнольдса и при измельчении сетки). Аллен объясняет это неточностью расчета по линейной иитерполяции потока массы в примыкающей к стенке ячейке (ячейка ш + на рнс. 5.2, б). Величина (ру)ст = 0; кроме того, в стационарном случае пз уравнения неразрывности следует, что d{pv)/ду\ст = 0. Отсюда видно, что вблизи степки ру изменяется по квадратичному, а не по линейному закону. Поэтому Аллен ввел квадратичную интерполяцию для ру, выбирая не значения в трех узлах сетки, а значение в двух узлах сетки да + 1. w 2 и известное значение ру на стенке w + /2, т. е. положил

(Р).+з,2 = /з [ {pv)2 + 3 (Р).+, - (Р).+,/2]- (5.147)



+ 0(Лг/2). (5.148)

Если и -и или и = V, то Lct = О и формула (5.148) упрощается. Проведенные Алленом [1968] расчеты для уравнения Бюргерса показали, что при больших числах Рейнольдса здесь формула первого порядка несколько предпочтительнее. По мнению автора, в настоящее время точность этого способа для многомерных задач полностью не выяснена.

5,7.2. в. Расчет плотности на гибридной сетке

Ясно, что для стенок с прилипаннем граничные условия для величин и, V, Т удобнее и точнее ставятся на расчетной сетке первого типа, узлы которой лежат на стенке. Плотность же, наоборот, удобнее и точнее вычисляется на расчетной сетке второго типа, узлы которой расположены на расстоянии Ау/2 от стенки. Эти соображения подсказывают введение гибридной сетки с шахматным расположением узлов.

где {pv)a,+\/2 = О на стенке с прилипанием. Аналогичные формулы применялись и для потоков величин puv, pv и v{Es-\-P). Консервативность сохранялась, поскольку для расчета в обеих ячейках ш + I и ш -f 2 на границе w + V2 брался поток (5.147). Будучи несколько сложнее для программирования, этот способ обеспечивает отсутствие отрицательных значений плотности на уступе.

Способ отражения на расчетной сетке второго типа привлекателен прежде всего удобством анпроксимации вязких членов, приводящем, однако, к понижению порядка точности. При помощи способа отражения требуемые значения р, и, и и Г на стенке устанавливаются автоматически, отвечая линейной интерполяции. Хотя на первый взгляд этот подход представляется разумным, в действительности он понижает порядок аппроксимации членов со вторыми производными (описывающих вязкие напряжения и теплопроводность) до первого и может быть причиной ошибок, связанных с нарушением ограниченности решения (см. обсуждение способов определения величины вихря на стенке в разд. 3.3.2). Следовательно, применение расчетной сетки второго типа хотя и удобно, но приводит к ухудшению точности и поэтому в общем случае не может быть рекомендовано.

Необходимо отметить, однако, что Аллен и Чен (Аллен [1968], Аллен и Чен [1970]) модифицировали расчет вязких членов в первом от стенки узле расчетной сетки второго типа. Они определяли величины производных типа dU/dy „, входящие в вязкие члены в точке w -\- I, при помощи экстраполяции второго порядка по внутренним точкам:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [ 130 ] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199