Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 [ 127 ] 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

р" + о т=+ о ш (5.119)

Если > О, то, согласно формуле (5.119), потоковые величины в нанравлепии у на стенке представляются конечными разностями против потока. Однако при Vw+i < О будем иметь конечную разность по потоку, что физически абсурдно и приводит к неустойчивости (см. разд. 3.1.8). Хотя при помощи этого способа и были получены некоторые сходящиеся решения, в общем случае его рекомендовать нельзя.

Ланидус [1967] разработал конечно-разностную формулировку граничных условий в узловых точках на стенке, дающую конечно-разностную задачу, аппроксимирующую исходную. Однако его способ не является строго консервативным (хотя и основывается на конценцин консервативности) из-за вынужденной перестройки и перекрытия границ нристеночных ячеек, что не согласуется (в обычном смысле слова) с подходом, применяемым во внутренних узловых точках. Кроме того, этот способ также довольно сложен.

) Ни Моретти, ни Кенцер не применяли консервативных уравнений н, таким образом, совсем не рассматривали их в своих работах

условия, полученные по способу отражения, не аппроксимируют точных граничных условий и, следовательно, аппроксимация решения исходных уравнений в целом не будет иметь места. Результаты Катлера и Ломекса [1971] показывают увеличение расхождений экспериментальных и расчетных данных при увеличении кривизны стенки, очевидно, из-за того, что на стенке берется нулевой градиент давления вместо значения, требуемого формулой (5.118).

Кенцер [1970а] определял по выражению (5.118) (в котором легко узнать равенство центробежной и центростремительной сил), представляя его односторонними конечными разностями. С учетом условия постоянства энтропии S (в невязком газе) вдоль линии тока, совпадающей со стенкой, оно дает возможность найти плотность р„, = р(Р, х) (может быть, этот способ можно применить и к случаю падения ударной волны на стенку, когда энтропия вдоль стенки не постоянна).

Кенцер дополнительно рассматривал характеристическое соотношение, как это ранее делали Моретти [1968а] и Бастианон [1969] (см. также Кокли и Портер 1969]). Хотя такой способ правилен, он не приспособлен к расчету течений вязкого газа, не является консервативным ) и довольно сложен в ирименении.

Другой способ заключается в представлении односторонними разностями членов с потоком в направлении у во всех уравнениях. Например, для уравнения ненрерывности будем иметь

д{ру) ду



Богачевский и Костофф [1971], а также Эмери и Ашёрст [1971] в случае течения невязкого газа сформулировали дискретные граничные условия на стенке при наличии вдува, используя расчетную сетку первого типа.

В общем случае для стенки со скольжением мы рекомендуем расчетную сетку второго типа.

6.7.1. б. Стенка со скольжением в расчетной сетке второго типа

Граничные условия на стенке со скольжением проще поставить на расчетной сетке второго типа, которая изображена на рис. 5.2,6. Здесь со стенкой совмещаются не узловые точки сетки (центры ячеек), а стороны ячеек. Поэтому ближайшая к стенке узловая точка w -- 1 удалена от стенки на расстояние Аг 2. Внутри стенки можно ввести фиктивную узловую точку ш.

Джентри, Мартин и Дали [1966] рассмотрели в этой расчетной сетке второго типа граничные условия на стенке со скольжением. Единственным условием, которое здесь необходимо соблюсти, является условие равенства нулю потоков через стенку всех переносимых газодинамических функций. Это условие можно поставить, либо записав специальные уравнения, выражающие равенство этих потоков нулю для пристеночных ячеек с центром в точке ш -- 1, либо применив к некоторым из этих членов способ отражения Введя фиктивную ячейку с центром в точке W внутри стенки, положим

ш= -ш+ь (5.120а)

f w = +fw+u где / = р, и, Е, или Т. (5.1206)

Применение способа отражения в расчетных сетках первого и второго типов дает совершенно различные результаты). При использовании в точке w -f 1 аппроксимации второго порядка, принятой для стандартных внутренних точек, потоки всех величин / на стенке {w -- /г) обращаются в нуль. Это легко показать при помощи метода контрольного объема, примененного для уравнений с центральными разностями (см. разд. 3.1.1). Значения потоков величин на стенке (of)a,+i/2 определяются следующим образом:

iK+m = /2\(vt), + (t/),+,] = V2[- {vf), + (vt),-\ = 0.

(5.121)

Здесь значения f на стенке при w -- /2 отвечают линейной интерполяции; однако необходимо подчеркнуть, что линейная интерполяция используется не для простоты, а потому, что

) Моретти [1969а, 19696] рассматрива.ч способ отражения только для сеток первого типа.



6 (ру2) +3/2 - Р" 1ст Р \w+3/2 - Р"\w +

by >w+\ Д(, Д(/

POL-l-3/2-Рш-Ц

-Ь о (Ду)

ст

-1- О (Ау)

Р" L-1-3/2

В последней части равенства в фигурных скобках стоит ошибка в величине потока по нормали к стенке составляющей количества движения в направлении у. Она является просто ошибкой аппроксимации и стремится к нулю при Ау-0. Таким образом, способ отражения для стенки со скольжением в расчетной сетке второго типа обеспечивает математически согласованную аппроксимацию граничных условий.

Однако эту ошибку аппроксимации легко устранить, если при записи уравнения для количества движения в направлении у в примыкающих к стенке ячейках ш -f 1 соответствующий член с потоком просто положить равным нулю. Аналогично, определение градиента давления на искривленной стенке можно подправить или в соответствии с равенством (5.118), или за счет использования односторонних конечных разностей для 6Р/6у; при этом имеет место первый порядок точности.

только она согласуется со вторым порядком аппроксимации первых производных во внутренних точках.

Упражнение. Показать, что в способе отражения на расчетной сетке второго типа масса сохраняется и что он согласуется с выводом, основанным на рассмотрении баланса массы вблизи поверхности стенки по методу контрольного объема.

Способ отражения дает правильное значение бР/бг/да = 0 на прямой стенке с условием скольжения. Как отмечалось выше, это не справедливо для искривленной стенки (см. равенство (5.118)). Кроме того, этот способ дает на этот раз ошибку в величине потока по нормали к стенке составляющей количества движения в направлении у

[f (pf)U = V2[(pf),+, + (Pf\] = (Pf2),+, Ф 0. (5.122)

Однако в данном случае эта ошибка не столь серьезна, и способ отражения дает здесь математически согласованную аппроксимацию. Действительно,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 [ 127 ] 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199