Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [ 124 ] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) В схеме Чудова (Браиловская с соавторами [1968]) на первом предварительном шаге по времени вклад вязкости не учитывается. Эту схему затем применяли многие авторы.

) Подробности расчета вязких членов в схеме Мак-Кормака и соответствующие условия устойчивости изложены в работе Мак-Кормака и Болдуина [1975].

5.6.3. Схемы для аппроксимации членов с вязкостью

В разд. 3.1.14 мы установили практическое правило для модельного уравнения, согласно которому явная по времени конечно-разностная схема, пригодная для уравнений при отсутствии вязкости, в общем случае не будет усиещна для расчета только одних вязких членов. Представляется, что это правило остается верным и для уравнений течения сжимаемого газа. Например, применение двухщаговой схемы Лакса - Вендроффа к вязким членам приводит к неустойчивости (Рубин и Бёрстейн [1967], Фройдигер и др. [1967]). Томмен [1966] предложил простую схему с разностями вперед но времени и центральными разностями по пространственным переменным для диффузионного члена на обоих шагах но времени). Эта условно устойчивая схема имеет очень жесткое ограничение на шаг по времени при малых значениях сеточного числа Рейнольдса Rcc (см. задачу 5.7). Результаты исследования устойчивости водно-мерном случае графически представили Рубин и Бёрстейн [1967]. Мак-Кормак применил двумерный вариант своей схемы (5.90) как к вязким, так и к невязким членам, используя условие устойчивости при отсутствии вязкости при расчете течений с большими числами Рейнольдса (Мак-Кормак [1970]) и дополнительное условие в виде М <С b Re Лл: при расчете течений с большей вязкостью (Мак-Кормак [1969] )). Если вязкие члены не аппроксимируются надлежащим образом, то при этом теряется второй порядок точности схемы (см. приложение Б).

Павлов [19686] применил простую схему с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственным переменным к полным уравнениям Навье - Стокса и получил решения для малых чисел Рейнольдса (Re = 50). Батлер [1967] также брал эту схему для представления вязких членов в методах PIC и FLIC. Скала и Гордон [1967] рассчитали течения при еще меньших числах Рейнольдса по схеме «классики» (разд. 3.1.18, 3.2.7) в преобразованной системе координат, применяя для конвективных членов разности против потока, а для диффузионных членов разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным. Необходимо отметить, что, хотя перечисленные работы имеют значительную ценность, сочетание большого числа Маха с малым



числом Рейнольдса может привести к тому, что физическое течение будет выходить за пределы справедливости гипотезы о сплошности среды, а тем самым и за пределы справедливости уравнений Навье - Стокса.

Для расчета течений вязкого газа без скачков Браиловская [1965] применяла двухшаговую схему (3.286). В приложении к уравнениям (4.63) течения сжимаемой жидкости эту схему можно кратко описать следующим образом. Обозначим индексами I я V соответственно невязкие и вязкие члены функций F я G; тогда

[/"+> = [/" [ЬРЧЬх + 6G76z/], (5.102а)

67+ 607+ 60

~Ь Av Af, ~Ь

(5.1026)

бл; бл; 6у бг/ J

где б/бх и б/бг/ представляются центральными разностями, а рп+1 р (fjn+i- и т.д. Для двумерного случая Браиловской [1965] было найдено достаточное условие линейной устойчивости

A/<minf, ---j=A, (5.103)

где А - размер ячейки, Ах = А.у - А или А = \/А.хА.у при АхфАу (предположительно). Второе неравенство в условии (5.103) представляет собой обычное ограничение по числу Куранта, С 1, а первое, которое можно переписать в виде

оказывается вдвое более жестким, чем обычное диффузионное ограничение на шаг по времени для одношаговых схем. Эти условия были достаточными для обеспечения устойчивости в расчетах Браиловской [1965], однако рассмотрение уравнения энергии (4.42г) и уравнений (4.446) и (4.45) вводит дополнительное диффузионное условие устойчивости

2-<-[. (5.105)

N==Pr-Re-M2(Y-1). (5.106)

Так как Браиловская проводила свои расчеты при Мо 1, Рг 1 и, конечно, 7 < 2, го при выполнении условия (5.103) условие (5.105) автоматически выполнялось, поскольку N<Re. (Для воздуха N > Re только при Мо > 1.89.)

Аллен и Чен [1970] изменили аппроксимацию диффузионных членов в схеме Браиловской и добились полного устране-



) В двухшаговой схеме Роуча и Мюллера [1968] использовались формулы типа (5.107). Дальнейшие исследования показали, однако, что в этой схеме диффузионное условие устойчивости, к сожаленню, не исключается, а только ослабляется.

ния ограничения на диффузионную устойчивость для уравнений с постоянными Д и k (т.е. с р = /г = 1). Такая схема для модельного уравнения течения несжимаемой жидкости уже была описана в гл. 3 (см. формулы (3.303)). Для течений сжимаемой жидкости градиенты давления в уравнениях количества движения представлялись конечными разностями так же, как конвективные члены в схеме (3.303). Если схему Чена-Аллена применять для уравнений с переменными коэффициентами переноса, содержащих члены типа d[f(dg/dx)]/dx, то для соответствующей аппроксимации члены типа U±\l2,i в формуле (5.100) на первом предварительном шаге необходимо рассчитывать так:

и ± 1/2,, = 42 {! (TV?) + f {Т?± 1, /)}, (5.107а)

а на втором шаге так:

fi±U2.1 = V2 {/ (n.V) + f (ТП\. /)}. (5.1076)

К сожалению, это приводит к неявной системе конечно-разностных уравнений. Для сохранения явности схемы f следует вычислять на первом шаге так:

± 1/2. / = /2 {f (П ;) + / (П±,, /)}, (5.108а)

а на втором шаге либо опять по формуле (5.108а), либо так:

ft ± 1/2, / = /2 {/ (TtV) + f (ТШ. ;)}• (5.1086)

Можно предполагать, что если f - \х(Т) и f - k{T) существенно меняются при изменении Т, то для этой схемы также надо рассматривать диффузионное условие устойчивости на шаг по времени), и здесь можно отдать предпочтение схеме Браиловской за ее сравнительную простоту.

При помощи данной схемы Аллеи и Чей (Аллен [1968], Аллен и Чен [1970] и Чен [1970]) успешно рассчитывали сверхзвуковое течение в донной области со слабыми ударными волнами. Очень существенным достоинством двухшаговых схем Браиловской и Чена - Аллена является то, что в них оба шага имеют один и тот же вид в отличие от всех двухшаговых схем типа Лакса - Вендроффа (разд. 5.5.6). Для стационарных решений рассмотренные схемы не имеют искусственной вязкости (однако в нестационарном случае искусственная вязкость в этих схемах имеет место). Таким образом, для стационарных течений со слабыми ударными волнами схемы Браиловской и



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [ 124 ] 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199