Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [ 123 ] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

величины антидиффузионных поправок, так чтобы они не вносили новых экстремумов в решение. Применение алгоритма к сложным задачам, например к расчету магпитогидродинамиче-ских ударных волн или к задаче о развитии неустойчивости на границе раздела двух жидкостей, привело к впечатляющему успеху. Представляется, что в будущем эта ныне совершенствующаяся методика найдет широкое применение.

Как было отмечено ранее, любая из схем расчета течений несжимаемой жидкости, онисанных в разд. 3.1 и 3.7, пригодна и для исследования течений сжимаемой жидкости. Если в схеме имеется некоторая искусственная вязкость, зависящая от времени, то схему можно применять и для расчета течений сжимаемого газа при условии, что ударные волны слабы и/или что имеется достаточная физическая вязкость (малые числа Рейнольдса). Особо отметим здесь двухшаговую схему Браиловской (разд. 3.1.15) и схему Крокко (разд. 3.1.12), которые будут обсуждаться в следующем разделе, посвященном аппроксимации вязких членов.

5.6. Члены с вязкостью в уравнениях течения сжимаемой жидкости

в этом разделе мы рассмотрим способы аппроксимации описывающих физическую вязкость и теплопроводность членов уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости. Эти же способы пригодны и для анироксимации членов с явной искусственной вязкостью, обсуждавшихся в разд. 5.4. Из-за большого числа различных вязких членов такие способы практически приводятся на примерах простых модельных членов, чтобы продемонстрировать основные идеи, не путаясь в многочисленных верхних и нижних индексах.

5.6.1. Аппроксимации производных по пространственным

переменным

Все вязкие члены в уравнениях (4.63) составлены из производных вида

дх L ду .

или аналогичных производных, в которых х заменены на г/ и г/ на X, причем f и g - различные комбинации безразмерных коэффициентов вязкости и теплопроводности, составляющих скорости и некоторых констант. В простейшем случае на одном



шаге по времени для производных можно взягь аппроксимации

дх L ду

h + l iJSt-i / + i~gHl !-{)~h-i i{Si~\, i + St-i !~\)

+ 0(ДлЛА/) (5.98) и аналогичную формулу для d[fdg/dx] /ду, а также Udg/dx]ll2 ,-и dgldx] ,p i

дх L дх

fi+m I-St j)-f.-i/2,/(g<,/-g.-i /)Л

= + /2 + gM)Jt-l/2 ,(g..; g.-. ,) Q д2) (599)

Если f постоянно по пространству, то (5.98) сводится к (3.12), а (5.99)-к (3.14). Если f переменно, то члены вида Д±1/2,/ в (5.99) могут быть вычислены одним из двух обычных способов. Например, если f = \i я зависит от температуры, то можно считать либо

либо

/.±,/2;=[/(?/,/) + /(/±.,/)]А (5.100)

±./2,; = f[(?., + 7,±.,)/2]- (5.101)

Обе эти формулы дают второй порядок точности и обе консервативны для диффузионной величины g. Если принят линейный закон зависимости вязкости от температуры, т. е. в уравнении (4.62) (О = 1 и, значит, f = Т, то обе формулы будут алгебраически эквивалентны. Однако при использовании закона Сазер-ленда (4.60) или уравнения (4 62) при ш Ф 1 применение формулы (5.100) при хранении ft,, в одном массиве может сэкономить значительное количество машинного времени (см обсуждение этого вопроса в разд. 7.1).

5.6.2. Общие соображения

Полный линейный анализ устойчивости конвективных и диффузионных членов в уравнениях Навье - Стокса очень сложен, и подобные попытки предпринимались только в одной или двух работах и только для простейших разностных схем Поскольку в данном случае наши интересы сосредоточены на задачах с сильными ударными волнами, которые в основном определяются иевязкими членами, в настоящее время принято проводить



анализ устойчивости только для уравнений течения невязкого газа и надеяться, что влияние добавленных вязких членов будет мало. Эта тенденция интересна тем, что она повторяет тенденцию, существовавшую десять или двадцать лет назад. Тогда интересовались задачами расиространения тепла и полагали, что добавление конвективных членов не влияет на устойчивость (см., например, Рихтмайер [1957])). В действительности важны как невязкпе, так п вязкие члены, однако обычно анализ устойчивости слишком сложен.

Опыт исследования простого модельного уравнения (2.18) показывает (см. гл. 3), что не всегда можно анализировать вязкие и невязкие члены ио отдельности, а затем просто брать наиболее ограничительное из полученных условий устойчивости. Добавление вязких членов может превратить неустойчивую схему (например, схему с разностями вперед по времени и центральными разностями ио иространственным переменным из разд. 3.1.4, 3.1.5) в устойчивую, и наоборот (схема «чехарда» из разд. 3.1.6). Однако раздельное проведение анализа устойчивости может дать некоторые наводящие соображения для дальнейшего численного экспериментирования. Кроме того, опыт расчетов Чена [1968], Аллена [1968], Аллена и Чена [1970] показал, что анализ устойчивости модельного уравнения (2.18) может дать ценные сведения об устойчивости расчета ио полным уравнениям Навье - Стокса, по крайней мере в случае применения явных схем.

Есть также указания на то, что при анализе устойчивости можно пренебречь членами со смешанными производными типа (5.98). Кенцер [1970] показал, что члены ей» смешанными производными не оказывают влияния на устойчивость, ио крайней мере в пределе при В отличие от подобного вывода, сде-

ланного выше для конвективных членов, представляется, что данный результат вытекает из опыта расчетов при конечных Ах > 0. По крайней мере такой опыт показывает, что если члены со смешанными производными и порождают какие-либо ограничения, связанные с устойчивостью, то они перекрываются другими условиями для устойчивости. Конечно, это может оказаться неверным для всех схем, которые могут быть созданы в будущем2), однако сейчас это позволяет нам значительно упростить изложение, уделяя внимание только анироксимацням модельных членов вида d[f(d-g/dx)]/dx и f{dg/dx).

) Как мы видели в гл. 3, в действительности это верно в том случае, когда устойчивость определяется только в пределе при а не для

реальных > 0.

2) В этом отношении интересна схема метода чередующихся направлений Мак-Ки н Митчелла [1970] для членов, содержащих смешанные производные.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 [ 123 ] 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199