Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [ 121 ] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

где 7"+, очевидно, представляет собой величину

(5.88)

Для больших чисел Куранта последняя схема дает даже меньшие всилеск за скачком, чем схема (5.82), однако здесь снова возникают трудности, связанные с граничными условиями на стенке. Рубин [1970] рассчитывал ио этой схеме одномерные течения вязкого газа с химическими реакциями и излучением.

Исследуя устойчивость. Рубин и Прейзер [1968] установили, что для всех перечисленных выше схем обычное ограничение ио числу Куранта (5.4а) является необходимым и достаточным для устойчивости )

Синглтон [1968] ввел в двухшаговую схему Лакса - Вендроффа расшепление по времени, вычисляя предварительные значения в точках (/±/2./) по одномерной схеме Лакса в нанравлений X и предварительные значения в точках (г,/±/2) ио одномерной схеме Лакса в нанравлений у. Первый шаг для уравнения (5.80) будет ирн этом иметь вид

"1 + 1/2. j + l l-H/2 /-1 2 Ay

(5.89a)

,,n+\l2 i. / + 1/2

~2~ L

i + l.; + 12 t-l,/+l/2 2 Ax

Второй шаг выполняется по обычной схеме «чехарда»

-t,J + l/2 "1 1-112

( pfl+1/2 pfi + 1/2

(5.896)

(5.89b)

Синглтон находит значения в точках с иолуцелыми индексами i ± /2, / ± /2 в выражениях (5.89а) и (5.896) ио формуле (5.86), а не ио формуле (5.85). На втором шаге (5.89в) значения в точках с полуцелыми индексами определяются согласно (5.88). Условия устойчивости для этой схемы получены небыли.

Очень интересная двухшаговая схема была разработана Мак-Кормаком [1969, 1970]. В ней на двух последовательных шагах ио времени нонеременно используются конечные разности вперед и назад ио иространственным переменным. Для

) Условие, получеииое в этой работе, заменило полученное ранее вдвое более жесткое достаточное условие устойчивости Бёрстейна [1965, 19661



1 ( - рп+\ р11+1

(5.906)

Модификация схемы получается чередованием конечных разностей вперед и назад на последовательных (полных) шагах по времени. В двумерном случае конечные разности вперед и назад могут браться различно в направлениях х я у и циклически чередоваться иа двух или четырех последовательных шагах по времени. Кроме того, эта схема может использоваться вместе с методом Марчука расщепления по времени (разд. 3.1.13). Детали этой схемы можно найти в работах Мак-Кормака [1971], а также Катлера и Ломекса [1971]. Мак-Кормак и Полли [1972] рассматривали различные аспекты расщепления по времени применительно к данной схеме, а также аппроксимации для смешанных производных в членах уравнений, включающих вязкость.

Не совсем очевидно, что эта схема является схемой типа Лакса - Веидроффа, ие очевидно даже, что схема аппроксимирует исходные уравнения в частных производных, однако полученные при ее помощи замечательные результаты (Мак-Кормак [1969, 1970], Катлер [1969], Ломекс с соавторами [1970], Кат-лер и Ломекс [1971]) поддерживают уверенность в этом. Поскольку в схеме не требуются значения Fi±i/2 в точках с иолуцелыми но пространству индексами, здесь не возникает трудностей с применением граничных условий (за исключением вариантов схемы с использованием расщепления по времени).

Данную схему опробовали Тайлер и Эллис [1970] при расчете сильных одномерных ударных волн по уравнениям при отсутствии вязкости, Катлер и Ломекс [1971] при расчете висячих скачков внутри поля трехмерного течения и Андерсон [19706] при расчете квазиодиомерных течений с неравновесными химическими реакциями. Ли [1971] использовал эту схему в сочетании с методикой выделения скачков для расчета осе-симметричных течений с химическими реакциями. Томас с соавторами [1971] применили схему (также в совокупности с методикой выделения скачков) для численного решения трехмерных задач, продвигая решение по осевой координате, в данном случае игравшей роль времени.

В настоящее время схема Мак-Кормака весьма широко применяется для расчетов аэродинамических задач. Однако Таркел [1974] отметил, что эта схема может быть неустойчивой при

одномерного случая эту схему можно записать в следующем виде:

Ufm-M +д7 (5.90а)



расчете некото с соавторами

)ых двумерных течений невязкого газа, а Тейлор 1972] обнаружил ее неустойчивость при расчете одномерных волн разрежения в невязком газе. В этих двух статьях, а также в статье Андерсона [1974] проведено сравнительное изучение различных схем.

Упражнение. Показать, что в приложении к одномерному модельному уравнению (5.1) при С = (7Д Ал = 0 схема Мак-Кормака дает точное решение = и" 1. Показать, что схема Мак-Кормака аппроксимирует уравнение

(5.1) в неконсервативной форме. Описать схему с центрированием по времени.

Рассмотрим другие двухшаговые схемы тина Лакса - Вендроффа и их приложения. Рубин с соавторами [1967] брал схему Бёрстейна (5.82) для расчета одномерного течения излучающего газа. Уоткинс [1970] разработал новую двухшаговую схему решения «жестких» уравнений (см. разд. 3.6.5), описывающих течения, в которых происходят химические реакции. Кенцер [19706] экспериментировал, проводя расчеты течения без скачков при помощи различных весовых комбинаций и различных чередований схемы Лакса и схемы «чехарда» подобно тому, как это сделано в схеме Рихтмайера (5.79),

Стренг [1963] описал схему, аналогичную первоначальной схеме Лакса - Вендроффа (5.72) - (5.74), а впоследствии Гурли и Моррис [19686] дали ее многошаговый вариант с расщеплением по времени Марчука (разд. 3.1.13). Фройдигер с соавторами [1967] разработал схему «с перекидыванием», для условной устойчивости которой необходимо наличие в уравнениях физических вязких членов (при малых числах Рейнольдса). Гурли и Моррис [1971] рассчитывали одномерные ударные волны, вводя разностные представления из двухшаговой схемы Лакса - Вендроффа в схему «классики» (см. разд. 3.1.18, а также Эймс [1969]). Боули и Принс [1971] обобщили двухшаговую схему Лакса - Вендроффа для применения на расчетной сетке с трапециевидными ячейками.

Как и Б первоначальной схеме Лакса - Вендроффа, во всех этих вариантах двухшаговой схемы для затухания осцилляции за сильными скачками может понадобиться дополнительное введение явной искусственной вязкости. Лапидус [1967], а также Эрдош и Заккаи [1969] добавляли члены с искусственной вязкостью тина Русанова (см. разд. 5.4.3). В работе Тайле-ра и Эллиса [1970] проводится сравнение этих способов и сио-соба Тайлера обеспечения добавочного демпфирования. В случае одномерного модельного уравнения (5.1) Тайлер заметил связь, существующую между различными схемами; ирп значении входящего в схему Русанова параметра ы = \/С она сводится к схеме Лакса, а при w = С - к схеме Лакса - Вендроф-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [ 121 ] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199