Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

- а

Здесь минус указывает на то, что увеличение в направлении X вызывает диффузию в противоположном направлении.

Диффузионный поток, втекающий в КО через левую грань за единицу времени, равен

ДД2= -a-ff Дг/Дг,

x-x2 х-Дх/2

а вытекающий из КО через правую грань за единицу времени составляет

Дг/Дг = -а

х + Ах/2

Ди Дг.

х+АхП

Здесь опять значения на гранях х ± Ах/2 представляют собой некоторые средние за время At, которые еще должны быть определены. Величина потока в КО за счет диффузии за промежуток времени At равна

а Ау Az At

Конвективный поток величины Г, втекающий в КО через левую грань за единицу времени, составляет

(")х-Дх/2 X (площадь) = (И;с Дх/2 У

где и может быть переменной, а значения функций на грани X - Дд;/2, которые еще надо определить, должны быть некоторыми средними за bd. Исходя из этой величины втекающего конвективного потока за единицу времени, полный конвективный поток величины Г в КО за промежуток времени ЬЛ через грань X - Дд;/2 можно записать так:

Аналогично, полный конвективный поток Г, вытекающий из КО через X + Дд;/2, будет равен

а чистый приток Г в КО получается как разность суммарного втекающего потока и суммарного вытекающего потока, т. е.

Чтобы вычислить поток в КО за счет диффузии, необходимо иметь закон для скорости диффузии. Простейший такой закон (согласующийся с уравнением переноса вихря) является линейным и гласит, что диффузионный поток величины за единицу времени, который мы назовем q, пропорционален градиенту (закон Фика):



Используя эти выражения, словесно сформулированный закон сохранения (3.32) для одномерного случая с конвекцией и диффузией можно записать следующим образом:

С1;,+ Ах yz-l t Ах Ау Аг = (« Uд,/" L+Д./2) +

+ аДг/ AzAt Разделив на AxAyAzAt, получим

K + &.XI2 dx

х-Ах12-

(3.33)

- 1] = д7 [" 1;- Ах/2 - «С 1х+дх/г] + +

х+Дх/2

(3.34)

Как и в интегральном методе, при дальнейшем выводе конечно-разностных выражений появляется некоторая свобода действий при определении значений функций на гранях объема. В качестве значений на грани объема можно взять среднее арифметическое значение в соседних узлах в момент времени п; тогда

№±д./2=т[№±Ах+(«ад

и градиенты

<3S

X ± Дл:/2

можно вычислить при помощи центральных разностей:

х + Ах12

В результате уравнение (3.34) примет вид

1" - S х]= {j [НУх + Шх-Ах] - Y 1НУх+Н)иАх]} +

(Z \х+&.х - Ztx) - -jrrilfx - Z tx-Ax)

J Дл:

it)i+x-ii)x-x , Л+А. + х-Ах-К

2 Ах

+ а-

(3.35)

Если вернуться к индексам i и п, то это уравнение совпадет с полученным ранее уравнением (3.18).

Таким образом видно, что все четыре метода вывода конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений в част-



3.1.3. Свойство консервативности

Конечно-разностный метод является консервативным, если он обеспечивает выполнение определенных интегральных законов сохранения, справедливых для исходных дифференциальных уравнений.

ных производных - разложение в ряд Тейлора, метод полиномиальной аппроксимации, интегральный метод и метод контрольного объема - могут привести к одинаковым разностным выражениям. Это обнадеживает и укрепляет доверие ко всем этим методам. Но в каждом из них имеется некоторая свобода действий, так что выбор метода для вывода конечно-разностного аналога дифференциального уравнения определяет этот аналог не единственным образом. В самом деле, существует много используемых аналогов. Несмотря на то что большинство из них различается (как может показаться непосвященным) в незначительных деталях, они могут сильно отличаться по своему поведению. По личному мнению автора одним из удивительных аспектов вычислительной гидродинамики является наличие большого числа правдоподобных схем, которые, однако, не работают, как, например, было указано для уравнения (3.17). Это справедливо как для основных (т. е. предназначенных для расчета внутренних точек) разностных схем, так и для схем, предназначенных для расчета граничных точек.

Достоинство метода контрольного объема определяется не каким-либо его свойством, а тем, что он является наилучшим в некотором среднем смысле. Преимущество этого метода заключается в том, что он основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. Особенно важным это оказывается в тех случаях, когда имеют дело с разреженными газами или с течениями невязкого газа, в которых существуют ударные волны. В этих случаях дифференциальные уравнения не имеют всюду непрерывных решений, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако масса, например, все же сохраняется, и конвективная часть уравнения (3.35) по-прежнему остается справедливой. Но даже и в тех случаях, когда непрерывные решения существуют, в методе контрольного объема внимание сосредоточивается на фактическом выполнении физических законов макроскопически, а не только в неком академическом пределе при Ах и At, стремящихся к нулю. Это лежит в основе понятия консервативности конечно-разностного метода, к обсуждению которого мы переходим.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199