Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [ 119 ] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

до , I , ,0 д г л дР

дх ду 2 дх

(5.76)

) Можно было бы провести осреднение иначе, а именно положив AiV2-(Ai+Ai ,)/2 = il) + Л (?± . )]/2-

Оба способа обеспечивают нужную аппроксимацию, однако Абарбанель и Цвас [1969] указали на предпочтительность выражения (5.75) из соображений консервативности; кроме того, в этом выражении требуется меньше арифметических действий.

Дополнительное осреднение, проведенное следующим образом ):

Л,-±,/2 = А (t/?±i/2) = A[{Uf + t/?±i)/2] , (5.75)

не снижает порядка ошибки аппроксимации, равного О (АЯ, Ал;). Второй порядок аппроксимации по времени важен для расчета некоторых нестационарных задач (см. Эмери [1968]).

Упражнение. Показать, что для одного уравнения (5.47) с й = 4 = const схема Лакса - Вендроффа (уравнения (5.72) - (5.74)) сводится к схеме Лейта (разд. 3.1.13).

Как и в схеме Лейта (разд. 3.1.13), в схеме Лакса - Вендроффа в нестационарном случае отсутствует искусственная диффузия, однако из-за наличия ненулевых коэффициентов при производных ди/дх и дЮ/дх имеются дисперсионные ошибки третьего порядка и ошибки, обусловленные затуханием, четвертого порядка (Рихтмайер и Мортон [1967]). Для стационарных решений анализ, аналогичный проведенному в разд. 3.1.13, показывает, что стационарное решение зависит от kt.

Данная схема дает гораздо более резкие скачки (т. е. меньшие толщины скачков), чем другие схемы, однако дает и больший всплеск за скачком. Лаке и Вендрофф [1964] объясняют это тем, что все схемы высокого порядка аппроксимации по времени должны давать осцилляции за скачком; см. также по этому поводу работу Фрёгденхила [1969], посвященную решению линейного модельного уравнения (5.47). (Представляется, что для многошаговых неявных схем это не имеет места; см. разд. 5.5.7.) Для уменьшения всплеска и для получения удовлетворительных результатов при наличии в течении сильных скачков необходимо ввести явную искусственную вязкость в какой-либо форме (Лаке и Вендрофф [1960, 1964], Рихтмайер и Мортон [1967]).

Рассматриваемую схему можно распространить на случай большего числа пространственных переменных; например, в двумерном случае она будет иметь вид



где А и В - надлежащим образом определенные матрицы размером 4X4. При этом, однако, схема становится весьма громоздкой и неэкономичной; Эмери [19G8] отмечает, что в этом случае схема Лакса - Вендроффа требует вчетверо больше ма-ипшного времени на один шаг по времени, чем схема Лакса. Кроме того, в этой схеме проявляется неустойчивость, обусловленная нелинейностью. Линейный анализ устойчивости (основанный иа предположении о постоянстве элементов матрииы А; см., например, Парлетт [1966], Бёрстейн [1965, 1966]) показывает, что схема безразлично устойчива в точках торможения потока (« = и = 0) и в звуковых точках {V = а, или М=1). Бёрстейн [1965, 1966] и Томмен [1966, 1967] установили, что нелинейные эффекты вызывают переход этой безразличной устойчивости в неустойчивость.

В проведенных Бёрстейном расчетах стационарного положения отошедшей ударной взлны перед затупленным телом неустойчивость зарождалась в области точки торможения и в области резкого изменения кривизны затупления, где располагается звуковая точка. Этот автор обнаружил, что введение предложенного Лаксом и Вендроффом [1964] явного затухания четвертого порядка ие дает эффекта, однако введение явной искусственной вязкости второго порядка типа Русанова (см. разд. 5.4.3) стабилизирует расчет, а также уменьшает или исключает всплеск за скачком. Платой за это является уменьшение порядка ошибки аппроксимации. Бёрстейн аналитически показал, что достаточным условием устойчивости в случае дозвукового течения является выполнение неравенства

С < 1/(2V2), (5.77)

что вдвое отличается от обычного условия Cl/V2- Однако опыт расчетов показывает, что достаточно обычного условия и что даже оно может быть превышено на 10%; см. также Эмери [1968].

Гари [1964] впервые применил схему Лакса - Вендроффа к уравнениям в неконсервативной форме и нашел, что волны разрежения рассчитываются при этом более точно. Моретти рассмотрел двумерный вариант схемы в неконсервативных переменных (см. разд. 6.2). В этом случае не было необходимости вычислять элементы матрицы А, а вторые производные находились перекрестным дифференцированием (так же, как для линейных модельных уравнений). Моретти сочетал методику выделения скачков с этой схемой продвижения решения по времени (см. разд. 6.2). Уоткинс [1970] показал, что методику выделения скачков можно также легко сочетать со схемой Лакса- Вендроффа в неконсервативных переменных, по крайней



дх д

ду L ду

Производные dF/дх и дС/ду уже определялись в схеме при рассмотрении первой производной по времени, а другие члены можно сгруппировать. Такой вариант схемы приводит к значительному сокращению числа арифметических действий, но при этом теряется принципиальная простота и строгая консервативность схемы. При помощи этого варианта схемы удалось рассчитать сложную задачу о взаимодействии ударной волны с пограничным слоем.

Тервоначальный вариант схемы Лакса - Вендроффа до сих пор представляет теоретический интерес и стимулирует развитие других схем (Фишер [1965а, 19656], Касахара [1965], Касахара с соавторами [1965], Цвас и Абарбанель [1970]). Двумерные задачи по этой схеме решали Бёрстейн [1965, 19бб], а также Скоглунд и Гей [1969]. Однако для многомерных задач она была вытеснена двухшаговой схемой, к рассмотрению которой мы сейчас переходим.

мере для одномерных задач. Метод Моретти использовался и для расчета трехмерных задач, причем были получены достаточно точные результаты (Итон [1970]). Аналогичное разностное представление по времени применяли Бастианон [1969] и для квазиодномерных задач Андерсон [1969а, 19696].

Армитеджу [1967] не удалось осуществить по схеме Лакса - Вендроффа устойчивый расчет осесимметричных вихревых течений в криволинейной системе координат, связанной с контуром стенки произвольного сопла; вероятно, эта неудача была обусловлена неустойчивостью, аналогичной неустойчивости, описанной Бёрстейном [1965, 1966]. Отметим, однако, что при помощи схемы Лакса - Вендроффа Сондерс [1966] рассчитал трансзвуковое течение внутри сопла, несмотря па теоретические указания (Парлетт [1966]) о непригодности этой схемы для расчета трансзвуковых течений. Саймеит [1968] рассмотрел влияние изменения шага сетки Ах на устойчивость схемы Лакса - Вендроффа.

Схема Лакса - Вендроффа может применяться и в лагранжевых переменных; в этом случае она является единственной схемой, не приводящей к размазыванию скачка (Лаке и Вендрофф [1964], Рихтмайер и Мортон [1967], Ван Леер [1969]).

Скоглунд и Гей [1969] видоизменили двумерный вариант схемы Лакса - Вендроффа, представив члены в уравнении (5.76) в следующем виде:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [ 119 ] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199