Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [ 118 ] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

dt 1 11-

dU, dx

+ 12

dU2 dx

диг дх

= 0,

(5.54а)

dU2 , .

dt + 21

dUi dx

+ 22

dU, dx

dUs дх

= 0,

(5.546)

dt +31

dU, dx

+ 32

dU2 dx

+ <3

дПг дх

= 0.

(5.54в)

Элементы Aim этой матрицы определяются как элементы матрицы Якоби

А,гп = dFi/dUrn . (5 55)

Из уравнений (4.666) и (4.66в) имеем


(5.56)

(5.57)

Тогда уравнение неразрывности

1 + = 0 (5.58)

получается из уравнения (5.54а) при

11 = 0, Л12=1, 13 = 0. (5.59)

Эту строку матрицы А определить просто; сложнее определить две другие строки, так как вид членов, содержащих Р и входя-игих в р2 и Fz, зависит от принятого уравнения состояния. Дальнейшее рассмотрение проведем для совершенного газа, описываемого уравнением (4.56):

Р = (Y-!)[£,-/2 Р«]. (5.60)

Введем обозначение m = ры и перепишем это уравнение состояния в виде

P{y-\){Es-42tnl9\, (5.61)

где А - матрица размером 3X3, что в развернутом виде будет выглядеть так:



а выражения (5.56) и (5.57) в консервативных переменных р,

т и Es:

rf/n ГР


(Y-l)£s + ymEs/p - 2

2 p у - 1

(6.62)

(5.63)

При помощи этих формул можно определить элементы матрицы Якоби Aim = dFi/dUm- В результате получаем

dU2 ~ - -

21 Л22 =

dFi dm

dIh~~~dEs 3-Y m->

dp L

dm .

dEs I

(y-\)Es + (Y- l)s +

3-Y m

- у m

= (3 - Y)

2 p J

yniEg у - 1 пг""

= Y-1.

ap L p

dm .

Y - 1 Ys

3 i\ tn

- V(Y- 1)

33-a(77-

ymEs

Y - 1

Yn "~ P

(5.64a) (5.646) (5.64b) (5.65a) (5.656) (5.65b)

(5.66a)

(5.666) (5.66b)

Таким образом, матрица A будет иметь вид гО 1

--[(3-Y)/2]mV (3-Y)m/p

L - ymEJp- + (Y - 1 )m-Vp3 у./р - 72 (Y - 1) m7p

Y- 1 ym/p J

(5.67)



Теперь можно обратиться к разложению Тейлора по времени (5.51), причем вторые производные здесь определяются следующим образом. Для 1-й компоненты U имеем

А

А,

дЦг дх

dFi dUi . dFjdU2 . dFi dUs dFi

dUi dx

dUi dx dF,

dUi dx dFi

dtdx

dx I dt i

(5.68) (5.69)

dFi dt

dti dFi dUi , * dU, dt "T"

dUi dt

dUs dt dFi

--п--гг

и поэтому

dFi , dF,

- 13

dFi , , dFsl дх +3--i

(5.70)

(5.71)

Теперь для 1-й компоненты U разложение (5.51) можно записать так:

" дх + А

dFi j агг

+ О (да,

/=1,2,3, (5.72а)

или, более компактно, так:

(5.726)

Схема Лакса - Вендроффа состоит в применении центральных разностей по пространственным переменным в разложении (5.72). Опуская для простоты индекс /, будем иметь в /-й узловой точке

Fi-,

+ О (Лх2)

(5.73)

и для членов типа д[АпдР\/дх\/дх

dx L

Ai+i/2 {Ft+i - Fi}/Ax - Ai-m (Fi - Fi-i)/Ax

+ 0 (Дд;2)

-rl(/+i + A,) (f - f,) - (A, + Ai ,) [F, -

- -i)] + 0 (ДА (5.74)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [ 118 ] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199