Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [ 117 ] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) Диффузионная схема дважды нарушает свойство транспортивности. Если, например, схема «чехарда» (гм. разд. 3.1.6) переносит возмущения вверх по потоку против направления скорости, то диффузноииая схема переносит их, кроме того, и в направлениях, перпендикулярных скорости.

диффузия вводится не только в виде искусственной вязкости, но и в виде искусственных диффузии массы и теплопроводности).

Из равенства (5.37) следует, что ошибка аппроксимации в этой схеме является величиной

£= 0(Лx, Л/, Лx/Л/). (5.40)

Такое выражение показывает, что ошибка аппроксимации неограниченно возрастает ирн фиксированном Лх и Л/-0. Этот факт имеет большое значение. Именно он привел в сильнейшее замешательство автора настояшей книги, когда он случайно запустил программу расчета распространения ударной волны с шагом Л/ = О и при этом обнаружил, что ударная волна все же распространяется (рассмотрите выражение (5.32) ирп Д/ = 0). В действительности в этом случае возмушсние не расиростра-няется вместе с фронтом волны при его движении, а диффундирует от начального разрыва при / = 0.

Очевидно, что при достаточно малых Л/ в схеме Лакса получается большой коэффициент ае, достаточный для стабилизации расчетов течений с сильными ударными волнами. ПриС=1 демпфирование исчезает и схему нельзя применять для расчета течений с ударными волнами.

Схема Лакса очень просто обобщается на случай двух или трех иространственных измерений, а именно

Ut/ = -[uUu I + ии. J + иг /+, + иг ,-,] + А/ , (5.41)

u"i]k--[ ui+i. i,k + u-i, /, ft + иг i+i,k+иг, /-i, k + иг. i, k+\ +

+ Ul,k- + t. (5.42)

При этом соответствующие условия устойчивости имеют вид

{V + a)At ly < 1 , (5.43)

Сз, = (У + а) At + < 1 • (5.44)

Таким образом, в трехмерном случае при Ах = Ау == Az максимально возможный шаг по времени уменьшается в д/З раз.

Упражнение. Получить выражения для Ое в случае двух или грех пространственных неременных.



Упражнение. Определить условия, при которых схема Русанова сводится к схеме Лакса.

Моретти и Аббетт [1966а] применяли двумерный вариант схемы Лакса в сочетании с методом характеристик и выделением скачков для попытки расчета течения в донной области. Они обнаружили явление, названное ими «stalling» и состоящее в следующем. При наличии градиента по пространственным иеременным, такого, что

иЧфиЧ 74 / + ии. I + ul /+, + Ul /-,), (5.45)

зависящее от времени решение определяется уравнением

Ul-Ul = {6Ul/6t)M, (5.46)

так что и1+фи" для всех п. Положение дел может измениться при изменении А/. Конечно, схема Лакса ие предназначена для расчета дозвуковых безударных течений, однако этот пример демонстрирует еще один недостаток схемы.

Несмотря на свои недостатки, схема Лакса имеет важное преимущество - простоту. Она также легко приспосабливается к цилиндрическим и сферическим координатам, а также к трехмерным задачам. По-видимому, эти обстоятельства и явились основной причиной того, что ее применяли Богачевский и Рубин [1966], Богачевский и Мейтс [1966], Богачевский и Кос-тофф [1971], Бариуэлл [1967], Ксерикос [1968], Эмери и Ашёрст [1971]. Кенцер [19706] исследовал схему Лакса и схему «чехарда» (см. разд. 3.1.6) в различных комбинациях и при различных шагах по времени применительно к двумерной задаче, в которой ударная волна принималась за границу расчетной области.

Из-за простоты программирования и надежности схема Лакса может применяться иа ранних стадиях разработки алгоритма решения задачи с тем, чтобы виоследствии заменить ее более сложной схемой.

Упражнение. Показать, что в модельном уравнении представление конвективного члена по схеме Лакса, а диффузионного члена центральными разностями приводит к безусловно неустойчивой схеме. Указание. Использовать исследование схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, заменив а на а -f- а,,.

Упражнение. Показать, что в схеме Лакса для стационарного уравнения получается величина = Дл:(2Д0-

б.б.б. Схема Лакса - Вендроффа

Лаке и Вендрофф [1960, 1964] разработали класс схем, который позволил достигнуть значительного прогресса в теорети- , мгском изучении разностных методов и привел к разработке



дР " dxdt

Рассмотрим теперь одномерные уравнения (4.66а) для течения невязкого газа

+ f = 0. (5.50)

где и и F - векторы, определенные формулами (4.666) и (4.66в). Разложение в ряд Тейлора по времени будет иметь тот же вид

= f/" + + + О (Д/3), (5.51)

и производные dU/dt даются уравнением (5.50). Однако вторые производные

ди дР д

df dxdt dx Idt .

(5.52)

теперь нельзя найти непосредственно из уравнения (5.50).

Поэтому разложение уравнения (5.50) необходимо дополнить записью его в виде

Ж + Ж = 0- (5-53)

класса двухшаговых схем (см. следующий раздел), являющихся в настоящее время наиболее популярными для расчета течений сжимаемой жидкости. Как и схема Лейта (см. разд. 3.1.13), все они основаны па разложениях в ряд Тейлора по времени до членов второго порядка включительно и все они эквивалентны схеме Лейта для модельного уравнения с постоянным коэффициентом.

По сравнению со схемой Лейта для расчета течений несжимаемой жидкости применение разложений по времени здесь значительно усложняется, поскольку вместо одного уравнения имеется система уравнений. Для модельного уравнения при отсутствии вязкости

ди/д{ + й ди/дх = Q (5.47)

разложение в ряд Тейлора по времени дает

u-+ = u + t + P+ 0{Af}. (5.48)

Член du/dt в выражении (5.48) дается уравнением (5.47), а вторая производная ди/дР находится дифференцированием уравнения (5.47):

ди (Эи (Э / (Э« N „о ди



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [ 117 ] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199