Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [ 113 ] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) Здесь С = ЙА ДЛ-- число Куранта для уравнения (5 1).

Схему Русанова часто сравнивают с другими схемами, и она обычно успешно выдерживает эти сравнения, за исключением таких задач, когда производные но времени изменяются быстро; в этих случаях предпочтительнее схемы второго порядка точности по времени (Эмери [1968]). При расчете нестационарных течений введение явной искусственной вязкости дает не столь плохие результаты, как это могло бы показаться на первый взгляд. Как и в схеме Лейта (разд. 3.1.13), применяемой для уравнений невязкого течения, в схеме с разностями вперед по времени дополнительный диффузионный член при надлежащей комбинации параметров фактически может аппроксимировать вклад от второй производной по времени. Для модельного уравнения (5.1), рассматриваемого в случае несжимаемой жидкости, искусственная диффузия равна нулю при сй = С), а при со = 1 и С=1 получается точное нестационарное решение (Тайлер и Эллис [1970]). В стационарных решениях ошибки, вызванные введением искусственной вязкости, сохраняются (см. разд. 3.1.8).

К несчастью, комбинация параметров о и со, оптимальная по минимуму толщины скачка и по минимуму диффузионных ошибок, оказывается зависящей от рассматриваемой задачи. Примечательно, что в рассматриваемой схеме введение искусственной вязкости необходимо не только для размазывания разрывов, но и для обеспечения линейной устойчивости. Несмотря на эти недостатки схема Русанова но справедливости считается наилучихей из всех схем с явной искусственной вязкостью, разработанных для расчета многомерных задач на эйлеровых сетках (см., например, Эмери [1968] и Ван Леер [1969]).

5.4.4. Ошибки, возникающие при введении искусственной вязкости

Введение искусственной вязкости часто неизбелно, и оно может быть приемлемо. Однако при введении явной искусственной вязкости могут возникать некоторые странные ошибки, не считая очевидных ошибок, возннкаюнгих и при расчетах течений несжимаемой лидкостн (см. разд. 3.1 8). Шульц [1964] отметил, что простое применение члена с искусственной вязкостью фон Неймана - Рихтмайера q\ в цилнндрическ!!\ или сферических координатах вызываег диффузию рзднальной составляющей количества двил<е1шя. Он предложил тензорную форму q\, которая обеспечивает точное coxpaneimc радиальной составляющей количества движения.

Камерон [1966] показал, что введение явной искусственной вязкости приводит к совергпепно неолиданным онгибкам при



расчете распространения ударных волн через границы раздела сред или через линии, где меняется шаг сетки Дх. Член с искусственной вязкостью фон Неймана - Рихтмайера qi вызывает ложные флуктуации эптронни и плотности при пересечении ударной волной границы раздела сред. При изменении иространственного шага сетки Дх возникает также ложная ударная волна, отраженная от линии, где происходит изменение шага, а скорость действительной ударной волны при этом меняется. Камерон обнаружил, что введение члена с искусственной вязкостью Ландсхоффа 92 не оказывает вредного влияния иа скорость ударной волны в месте изменения шага сетки, однако вязкость Ландсхоффа менее удобна, чем вязкость фон Неймана - Рихтмайера, поскольку приводит к резкому изменению толщины ударной волны в месте изменения шага сетки. Камерон вводил оба члена qi и 92, чтобы ошибки от их введения частично компенсировали друг друга. Он добился также правильной скорости распространения ударной волны через границу раздела сред, меняя шаг сетки Дх при переходе через эту границу, однако при этом по-прежнему возникала ложная отраженная ударная волна.

Хигби и Плустер [1968], рассчитывая расиространение ударной волны в лагранжевых переменных, изменяли искусственную вязкость фон Неймана - Рихтмайера таким образом, чтобы при непрерывном изменении шага сетки толщина скачка, выраженная в единицах длины шага, оставалась постоянной. Этот прием приводил к исчезновению флуктуации в решении.

5.5. Схемы с неявной искусственной вязкостью

Вместо явного введения в уравнения членов с искусственной вязкостью тина q, искусственное затухание может вноситься неявным образом просто за счет выбора конечно-разностной схемы. Схема привносит в одних случаях искусственную схемнук! вязкость в виде ненулевого коэффициента при вторых производных по пространственным переменным, а в других - искусственное схемное затухание, когда все собственные значения соответствующей матрицы перехода становятся но модулю меньше единицы. В обоих случаях для стабилизации расчета сильных ударных волн в этих схемах может потребоваться и введение дополнительной явной искусственной вязкости.

5.5.1. Схемы с разностями против потона

Вторая схема Куранта, Изаксона и Риса [1952], описанная в разд. 3.1.8, является схемой с разностями против потока или схемой с односторонними разностями. Для уравнений в лаграи-



(р.)Г-(р«)? Phi-PU {pu)1-{pu)U At 2Ах Ах

при «£ > О ,

Ph,~PU (р«%1-(р«)?

2Ах Ах

при Ui < О;

(5.23а) (5.236) (5.24а)

At Ах

при Ui> О , [«К + Р)]-[«(£,-ЬР)]? (5 246)

при М(<0.

Эта схема очевидным образом обобщается на двумерный случай. Исследование Курцрока [1966] показало, что устойчивость здесь ограничена не только величиной числа Куранта, но и следующим условием:

д/ < I и ПАХ + I у ЦАу

[\и \/Ах + I . \/Ау + {a/AxWTT¥f

или при Ах = Ау = А (т. е. при [5 = 1) - условием

Д/< , (5.256)

жевых переменных она была также предложена Лелевье (:м. Рихтмайер [1957]) и поэтому часто называется схемой Лелевье (см., например, Крокко [1965], Роберте и Вейс [1966], Курцрок и Мейтс [1966]).

В уравнении (4.63) для каждой из переносимых величин U, входящих также в F и G, конечные разности составляются согласно знаку скорости конвекции и пли v соответственно. Однако в уравнениях количества движения члены с градиентом давления не должны представляться разностями против потока, как это будет обсуждаться в следующем разделе. В случае уравнений (4.66) для одномерного движения невязкого газа первая схема с разностями против потока приводит к следующим уравнениям:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [ 113 ] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199