Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

U = {9u\, (5.76)

р«

,и{Е, + Р) - аи

дх ди

(5.7в)

Фон Нейман и Рихтмайер предложили для ав выражение

aJ = р (bi Axf\ ди/дх , (5.8)

где bi - подбираемая постоянная порядка единицы). В уравнения добавлялся член

9i = - ад ди/дх, (5.9)

который, как видно из уравнений (5.7), эквивалентен дополнительному искусственному давлению

Идея этого подхода след}ющая. Мы никоим образом не стремимся рассчитывать сколь-нибудь точно течение внутри ударной волны, а интересуемся только существенно невязким течением но каждую сторону этой волны. Если значение коэффициента искусственной диффузии выбра5Ю просто постоянным и достаточно большим, чтобы подавить осцилляции за скачком, то «скачок» в численном решении может размазаться на 50 или 100 ячеек сетки. В то же время соотнотиения Рэнкина - Гюгонио поперек скачка будут выполнены безотносительно к деталям диссипативного процесса, протекающего внутри скачка (см. любой курс газовой динамики). (Например, соотношения Рэнкина - Гюгонио могут быть записаны для сложной модели взаимодействия скачка с пограничным слоем в сверхзвуковом

) Постоянная bi играет роль, ана.югичную роли длины пути перемешивания в модели Прандтля турб>лентиого пограничного слоя {Шлихтинг [1968]).

получающиеся из сисгемы (4.42) - (4.47) при \х~0, но х > 0. Заметим, что

Я/цо йр (5 6)

Коэффициент ав представляет собой коэффициент диффузии, равный величине, обратной числу Рейнольдса, построенному не по коэффнциенгу вязкости До, а по коэффициенту объемной вязкости хо. Тогда из системы (4.42) - (4.47) будем иметь

f + f = 0, (5.7а)



) Это идеализация. На самом же деле пока конечная толщина скачка не станет постоянной при стационарном режиме, скорость скачка определяется нестрого, что особенно заметно для методов первого порядка точности по Д..

диффузоре, причем размер области этого взаимодействия может быть равен нескольким футам.) Преимущество задания «д в виде (5.8) состоит в том, что диффузионный процесс при этом определяется величиной д[{ди/дх)\/дх вместо величины д{ди/дх)/дх. Соответственно диссииация имеет место на более коротких расстояниях. Конечно, в области течения вне скачка возникает ошибка, однако если градиенты в этой области малы, то ошибка невелика.

Значение коэффициента {b\SxY в уравнении (5.8) выбирается таким образом, чтобы независимо от интенсивности ударной волны (скачка давления) она имела бы постоянную толщину, измеряемую в размерах ячейки сетки. При таком выборе коэффициента искусственной диффузии толщина скачка получается от ЗДх до 5Дх (см. рис. 5.1,6). Толщина скачка 6s определяется, конечно, приблизительно (как и толщина пограничного слоя). Если определение толшины скачка проводить но величине его наклона, то 6s » ЗДл. Для обеспечения устойчивости требуется небольшое усиление условия Куранта С 1. Ро-зенблют показал (см. Рихтмайер и Мортон [1967]), что размывание волн разрежения не обязательно, и поэтому большинство исследователей использует формулу (5.8) только приц(6ц/бх)< <0 и полагает as = О при ц(б«/6х) > 0. Конкретное значение Ь\ выбирается после проведения опытных расчетов в результате компромисса между двумя желательными свойствами: минимальной толщиной скачка и минимальной амплитудой осцилляции за скачком, которые не могут быть полностью устранены.

Различные схемы, обсуждаемые в последующих разделах, имеют своей целью достижение этих желательных свойств, причем некоторые схемы имеют определепиые преимущества. В этой связи важно отметить пять основных моментов.

(1) Если берутся одномерные уравнения в консервативной форме и в них в каком-либо виде имеется диссииация, то при переходе через скачок соотношения Рэнкина - Гюгонно будут удовлетворяться, так как они основаны на законах сохранения массы, количества движения и энергии. Поэтому независимо от исиользованной схемы в результате расчета получается правильное значение скорости скачка). Это было численно подтверждено Лонгли [1960].

(2) В многомерных задачах в случае скачка, располагающегося под углом к линиям расчетной сетки, условия Рэнкина -



Гюгонио не обязательно точно выполняются. При размазывании скачка градиент нормального потока количества движения может распространяться в направлении, касательном к скачку. Это нарушает основное газодинамическое предположение, которое необходимо для вывода соотношений Рэпкнпа - Гюгонио для косого скачка из соотношений Рэнкина - Гюгонио для прямого скачка (см. любой курс газовой динамики). Поэтому скорость косого скачка будет неточной и на косых скачках в стационарном решении не будут выполняться условия при переходе через скачок.

(3) Осцилляции за скачком присущи явным схемам с использованием аппроксимаций второго порядка по пространственной переменной; эти осцилляции возникают из-за нарушения характеристических свойств уравнений сверхзвукового течения (см. обсуждение данного вопроса в разд. 5.5.2).

(4) Можно видеть, что на эйлеровых сетках толщина скачка 6s, определенная по выходу на параметры течения вверх и вниз от скачка, должна превосходить размер одной ячейки расчетной сетки. Если параметры течения меняются на участке от i до t-4-l, то положение скачка Xs не может быть определено точнее, чем с ошибкой +Ах/2. С вычислительной точки зрения невозможно различить два скачка, если оба они расположены между t-й и (/"4- 1)-й точками. При С< 1 скачок за один шаг по времени перемещается на расстояние меньшее, чем Ах, а С могло бы быть выбрано так, что скачок при этом останется между точками i и t-f Г Но тогда скачок вообще не будет перемещаться. Единственно возможными скоростями движения скачка в случае 6s < Ах являются либо Vs = О, либо Vs = Ах/А/. Отсюда следует, что в случае 6s < Ах получить правильную величину скорости скачка невозможно.

(5) Большинство опубликованных сравнений различных схем проведено на основе схемы с разностями вперед по времени, в которую может быть введена искусственная вязкость ав для обеспечения линейной устойчивости. Однако члены с искусственной вязкостью могут вводиться и в другие схемы, и тогда относительные достоинства схем могут измениться.

Схема фон Неймана - Рихтмайера по-прежнему широко употребляется и часто успешно конкурирует с более новыми схемами. Шварц [1967] применил ее для расчета в сферических координатах задачи релятивистской газодинамики о гравитационном коллапсе звезды. Хикс и Пелцл [1968] обнаружили, что при расчете сильных скачков и волн разрежения она дает лучшие результаты, чем схема Лакса - Вендроффа (разд. 5.5.5, 5.5.6; см. также сравнения в разд. 5.4.4). Лаваль [1969] при помощи схемы фон Неймана - Рихтмайера исследовал процесс



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199