Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 [ 109 ] 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) В более общих случаях имеем С< , или C< iM= . (5.4в)

Это и есть условие устойчивости Куранта - Фрилрпхса - Леви [1928], или КФЛ-условие. Переформулированное в других терминах, оно констатирует, что область влияния конечно-разностных уравнений должна быть по меньшей мере столь же велика, как область влияния исходных дифференциальных уравнений (см. разд. 3.1.5.д). Физически оно означает, что за один шаг но времени звуковая волна не должна проходить расстояние, большее размера ячейки.

Таким образом, условия устойчивости для расчета течений сжимаемой жидкости часто получаются при помоши анализа модельного уравнения (5.1) с заменой числа Куранта для течения несжимаемой жидкости С = \и\М{Ах числом Куранта для течения сжимаемой жидкости С = ( м + а) At/Ах. Эта аналогия распространяется и на случай больших возмущений давления, причем скорость звука.заменяется скоростью ударной волны (см. разд. 5.4.1).

Этот метод исследования устойчивости часто приводит к тем же результатам, что и строгий матричный метод исследования устойчивости, и дает по крайней мере необходимое условие устойчивости. Более ограничительные условия необходимы, например, в случае иснользования конечных разностей против потока (см. разд. 5.5.1), н это понятно, поскольку в таком случае конечно-разностные аналоги конвективных членов н членов с градиентом давления получаются по различным схемам. Примененный выше прием не проходит также для неявных схем (см. следующий раздел). В случае течения сжимаемой жидкости размерность задачи влияет на условие устойчивости. При Ах = = Ау = А применение одномерного метода одновременно для всех измерений обычно меняет условие (5.4а) следующим образом:

C<-U или С<-U (5.46)

V2 V3

соответственно для двух или трех пространственных координат). Использование схемы расщепления по времени Марчука [1965] с раздельным расчетом вкладов от каждого измерения приводит обычно к одномерному условию (5.4а); см. также работы Гурли и Митчелла [19696], а также Мак-Кормака [1971].

В литературе приводилось еще одно дополнительное ограничение на шаги расчетной сетки. Гудрич [1969], пользовавшийся нестационарной схемой Русанова (разд. 5.4.3) и полными урав-



пениями течения вязкого газа, рассчитал ламинарные течения газа около плоских пластин и пластин с уступами. Он нашел, что для обеспечения сходимости ошибок аппроксимации и для точности стационарного решения должно выполняться ограничение, наложенное на шаги пространственной сетки. Для потока, приблизительно параллельного оси х, он требовал, чтобы

Ay/Axigm, (5.5а)

где рм - угол Маха,

Им = arc sin (1/М), (5.56)

или (что эквивалентно) чтобы

Ах/Ау > - 1. (5.5в)

Если этот критерий нарушается, то около входной границы потока возникают нереально высокие давления (частное сообщение).

В случае решения гиперболической системы уравнений для невязкого газа методом характеристического типа, в котором решение продвигается по слоям на фиксированной сетке, это условие является, конечно, не чем иным, как условием Куранта- Фридрихса - Леви (см. Курант, Фридрихе и Леви [1928]). Однако в литературе описаны устойчивые и достаточно точные решения, в которых этот критерий не выполняется. Известно также, что подобное условие возникает для более простых уравнений из-за постановки специальных граничных условий (Чо-рин, частное сообщение).

К настоящему времени точный статус этого критерия не установлен. Представляется, что опыт Гудрича может иметь отношение и к граничным задачам, но это не обязательно.

6.1.3. Использование неявных схем

Почти все расчеты практически важных многомерных задач о течениях сжимаемой жидкости, опубликованные к настоящему времени, проводились при помощи явных схем. Некоторые из многошаговых схем (разд. 5.5.7 и 5.6.3) можно интерпретировать как итерационные приближения к неявным схемам, однако в действительности оказывается, что проведение лишь одной итерации дает лучшие результаты, чем проведение нескольких итераций. Построению неявных схем для гиперболических систем уравнений посвящены ранние работы Вендроффа [1960], Анучииой [1964] н Гари [1964]. В работе Браиловской с соав-торами [1970] отмечена причина пессимизма относительно использования неявных схем: многие неявные схемы, безусловно устойчивые в применении к модельному уравнению (5.1), не



342 5 2. Метоаы численного расчета ударных волн

являются таковыми в примеие1П!и к cncieMe уравнений, описывающих течение сжимаемой жидкости. Это подтверждается опытом Шредера и Томсена [1969]; они построили неявную схему для многомерных гиперболических уравнений, которая по-прежнему требовала ограничения С 1. Полежаев [1966, 1967] рассчитал течения сжимаемого газа при помощи метода чередующихся направлений, при котором устранялось ограничение па шаг но времени, связанное с диффузией, но явная аппроксимация членов с градиентом давления приводила к сохранению условия С 1.

Гурли и Митчелл также рассматривали метод чередующихся направленнй [1966а] и впоследствии [19666] для двумерных гиперболических уравнений разработали безусловно устойчивую схему метода чередующихся направлений, основанную на девя-тнгочечном шаблоне, применяемом на обоих слоях по времени. Однако эта схема не была опробована па нелинейных задачах п на реальных газодинамических расчетах. Сварц и Вендрофф [1969 при помощи нелинейно неявной схемы, используя итерации на каждом шаге по времени, рассчитали одномерную задачу о распространенни ударной волны. Представляется, что эту схему трудно обобщить на случай двух или трех пространственных переменных.

Хотя в будущем неявные схемы расчета течений сжимаемой жидкости могут приобрести BaHinoe значение, однако в настоящей книге мы будем рассматривать только проверенные явные схемы.

5.2. Методы численного расчета ударных волн

Вместо того чтобы следить за ударной волной и пытаться решить, когда из волн сжатия сформируется ударная волна, предпочтительнее просто «включить» уравнения и предоставить ударным волнам развиваться естественным образом. Трудность заключается в том, что толщина прямого скачка Ss в реальных вязких газах при фиксированном числе Прандтля Рг меняется как 1/Re, и для течений с большими числами Рейнольдса может случиться, что Ss < Ах. При этом за скачком развиваются осцилляции, как показано на рнс. 5.1, а.

Эти осцилляции на конечной эйлеровой сетке отражают физический процесс, посредством которого кинетическая энергия упорядоченного движения теряется при уменьшении скорости при переходе через скачок п диссипнрует во внутреннюю энергию благодаря столкновению молекул (Рихтмайер и Мортон [1967]). Но в расчетной модели узловые точки сетки, в некотором смысле являющиеся «вычислительными молекулами», расположены слишком редко. Если 1/Re = О и если в конечно-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 [ 109 ] 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199