Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

В котором вместо итераций по отклонениям в форме тела (на поверхности которого нормальная составляющая скорости обращается в Г1уль) рассматриваются невязки этой составляющей скорости в точках желаемого положения тела. При этом Джонс исходил из точного решения Тейлора - Макколла (см. Овчарек [1964]) для обтекания конического тела при нулевом угле атаки, вводя малые возмущения угла атаки или формы обтекаемого тела. Обтекание затупленного тела под углом атаки рассчитывали обратным методом Махин и Сягаев [1966]. Кайрис [1970] разработал метод, в котором объединены конечно-разностная схема на смешанной лагранжево-эйлеровой сетке для расчета течения без скачков и обратный метод для расчета скачка. Много алгоритмов обратного метода и метода характеристик используется в промышленности (см. работу Морено [1967], содержащую такл<.е библиографию по этой теме). Морено [1967] отмечает, что при некоторых заданных начальных формах ударной волны могут возникать особенности в решении, вызывающие расходимость итераций. Необходимо еще отметить, что при гиперзвуковом обтекании даже простой конфигурации - конуса со сферическим затуплением - кривизна ударной волны не всегда монотонна (Уилсон [1967]), а может иметь точку перегиба, что, разумеется, может привести к прекрашению расчета,

В настоящей книге основное место отводится методам расчета нестационарных течений на эйлеровых сетках, которые допускают образование скачков в течении, но не требуют какого-либо специального алгоритма для этих скачков и даже просто его обнаружения. Такие методы носят название методов «размазывания» скачка (shock-smearing) или методов «улавливания» скачка (shock-capturing) в англоязычной литературе и методов сквозного счета в литературе на русском языке (см., например, Годунов и Семендяев [1962]). Если нас интересует только стационарное решение задачи, то можно проводить нестационарные расчеты и выйти на стационарное решение (если оно существует) при больших значениях времени (так же, как в гл. 3). В литературе на русском языке этот подход называется методом установления (Браиловская с соавторами [1968]) или методом асимптотического стационирования.

Конечно, если нестационарное решение не представляет интереса, то при вышеуказанном подходе появляется дополнительная гибкость, связанная с отсутствием необходимости моделировать реальные физические нестационарные процессы. При таком подходе, например, можно использовать схемы иервого и меньшего порядка точности по времени. Крокко [1965] предложил схему, в которой конечно-разностные уравнения фактически



[1960 [1966

Крейса [1964], Стренга [1964], Лакса и Ниренберга , Парлетта [1966] и Браиловской с соавторами [1970]. Определения и условия, рассматриваемые в этих работах, конечно, не всегда справедливы для нелинейных задач, в особенности при наличии скачков.

Исследовать устойчивость системы уравнений, подобной (4.55), труднее, чем в случае течения несжимаемой жидкости. В системе уравнений с переменными г5, С исследовалось на устойчивость независимо одно параболическое уравнение, а влияние 1) устранялось с помощью линеаризации. Аналогично связь между записанными для простейших физических переменных уравнениями, обусловленную наличием конвективных членов и членов с градиентом давления, moHIho было устранить путем линеаризации. Однако это невозможно проделать для уравнений, описывающих течение сжимаемой жидкости. Хотя конвективные члены типа д{рии)/ду можно линеаризацией свести к виду vd{pu)/dy, с членами, содержащими градиент давления, этого сделать не удается, и они влияют на поведение даже линеаризованной системы. Поэтому модельное уравнение

ди ~ ди , ди ,г- ,ч

«1йг + «-. (5-1)

dt " дх дх

па котором часто изучается устойчивость уравиепий, описывающих течение несжимаемой жидкости, не моделирует поведение

аппроксимируют исходную систему уравнений в частных производных лишь в стационарном случае, и эта схема обладает хорошей сходимостью. Симуни (см. Браиловская с соавторами [1968]) разработал метод установления с рассмотрением зависящих от времени граничных условий, стремящихся к граничным условиям исходной задачи только при достижении стационарного решения. Фройдигер с соавторами [1967] также рассмат-р[шал нестационарный расчет лишь как итерационную процедуру и указал на возможность изменения А/ по пространству для ускорения сходимости. Поскольку ни одна из этих идей не была развита в систематический метод, они не будут обсуждаться в настоящей книге, однако их следует иметь в виду для дальнейшего развития метода установления.

6.1.2. Исследование устойчивости

Замечания, сделанные в разд. 3.1.5.г по поводу критериев устойчивости и методов ее исследования, остаются в силе и здесь. Дополнительные сведения, касающиеся, в частности, устойчивости в гиперболических системах, можно найти в работах Куранта, Фридрихса и Леви [1928], Лакса [1954, 1957, 1958, 1961], Лакса и Рихтмайера [1956], Лакса и Вендроффа



а, и тогда ограничение на

С = Ш±ЛА1\. (5.4а)

) К счастью, однако, вязкие члены уравиетни"! для сжимаемой жидкости, содержащие смешанные производные, здесь не существенны, и в этом отношении уравнение (5.1) моделирует уравнение (4.426); см. разд. 5.6.

уравнения количества движения сжимаемой жидкости (4.426) даже в случае одного измерения, так как в исм нет членов с градиентом давления ). Для исследования устойчивости полной линеаризованной системы уравнений нужно воспользоваться матричны.ми методами исследования устойчивости (см. Эймс [1969], Митчелл [1969]), что выходит за рамки настоящей

КИНГИ.

Используем, однако, прием, который позволит сделать некоторые выводы об устойчивости уравнений для сжимаемого газа на осповании простого модельного уравнения (5.1). Как мы видели в гл. 3, типичным условием устойчивости для уравнения

(5.1) является ограничение на число Куранта

С = йЛ Д.г< I. (5.2)

Это неравенство следует из [)ассмотрения невязкнх членов в уравнении (5.1), т.е. при а = 0. В уравнении (5.1) при а = 0 информация переносится с конвективной скоростью непрерывной среды. На каждом расчетном шаге по времени возмущение в 1-й точке влияет па новое значение в (г + 1)-й точке. Это означает, что за каждый шаг по времени А/ информация переносится на расстояние Ах и, таким образом, вычислительная скорость распространения информации равна Ax/h.t. Неравенство

(5.2) означает, что скорость распространения информации в непрерывной среде не должна превышать вычислительной скорости распространения информации, т. е.

\й\А.х/М. (5.3)

В течениях сжимаемой жидкости члены с градиентом давления меняют скорость распространения информации в среде; она уже ие равна й, а несколько больше. Рихтмайер и Мортон [1967] словесно описали путь получения зависимости скорости распространения информации в среде от давления. Мы же здесь просто ограничимся элементарными газодинамическими соотношениями. Малое возмущение давления распространяется с местной скоростью звука а относительно газа, который сам движется со скоростью й. Возмушения давления распространяются во всех направлениях, н необходимо рассматривать только а> > 0. Таким образом, скорость распространения информации в сжимаемой жидкости равна \й -\ число Куранта записывается в виде



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199