Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [ 105 ] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Для определения ц и. k также необходимы соответствующие соотнощения. Формула Сазерленда для вязкости (см. Шлихтинг [1968]) дает вполне хорошие результаты для воздуха и других газов в том интервале температур, в котором газ можно достаточно точно считать калорически совершенным. По этой формуле

JL=L(fy4±L, (4.59)

или в безразмерном виде

ti = p/2±L, (4.60)

5, = 5,/Го (4.61)

и 5i = 110K для воздуха. Заметим, что при использовании формулы Сазерленда в решение добавляется еще один характерный параметр S\ - Si/fo. Практически это приводит к необходимости задаваться некоторым характерным размерным значением температуры в задаче. То же самое hmcjt место, если й берется как линейная функция от Г, fe = а-f 67", причем афО.

В качестве аппроксимации формулы Сазерленда часто применяется стененная зависимость

ц = Г, (4.62)

где (О выбирается между 1/2 и 1. В этом случае со является дополнительным характерным параметром, однако зависимость от него молет быть очень слабой, и для многих газов можно удовлетворяться значением со = 1. При расчетах течений с большими числами М выбор различных зависимостей вязкости от температуры может привести к существенно различным результатам (см. Батлер [1967]).

При использовании формулы Сазерленда необходимо проявлять предусмотрительность при составлении программы во избежание чрезмерного возрастания машинного времени, необходимого для расчета (см. гл. 7).

Таким образом, уравнения, описывающие течения газа (4.42) и необходимые дополнительные соотношения, такие, как уравнение состояния (4.50), содержат четыре характерных безразмерных параметра: Mq, Re, Рг и у или Мо, Re, N и у в том случае, когда коэффициенты переноса ц и k предполагаются постоянными. При переменных [ink можно дополнительно ввести характерную размерную температуру.



4.6. Сокращенная запись уравнений

4.6. Сокращенная запись уравнений

Уравнения, описывающие течения сжимаемой л<идкости, очевидно, сложнее уравнений, описывающих течения несжимаемой жидкости. Поэтому для изложения и оценки численных схем часто применяются различные формы сокращенной записи этих уравнений.

Широко расиространено представление уравнений (4.42) в «векторной» форме. Здесь «векторы» U, F, G представляют собой упорядоченные наборы комбинаций основных иеремеи-ных. При x = О эта сокращенная запись уравнений выглядит так:

ди дР . дО дх ду

(4.63а)

ри pv

Х М ди 2 ду \

Яе \3 дх 3 ду )

II ди , ди

и. / ди , ди \

k дТ

IX / dv , ди\ п t II С 4 dv 2 ди\

(4.636)

(4.63в)

(4.63г)

Например, уравнение неразрывности (4.42а) получается из (4.63) при подстановке первых элементов V, Р, О:

dUi . дР, дС, ,?г (5л: I ду "

т. е.

др dt

дх

djpv) ду

(4.64) (4.65)




(4.66в)

Число арифметических операций, требующихся для решения уравнения (4.63) в конечно-разностной форме, можно значительно уменьшить, считая коэффициенты р, и ft постоянными, что приведет к х = 1, ft = 1 в уравнении (4.63). Однако, как было указано в разд. 4.4, для достижения большей точности необходимы более общие предположения.

4.7. Физические и математические особенности, связанные с наличием ударных волн

С физической точки зрения ударная волна представляет собой разрыв в течении 2). Она отличается от контактного разрыва тем, что газ движется через ударную волну, в то время как при контактном разрыве газ движется вдоль разрыва.

Ударная волна - замечательное физическое явление. Здесь на расстоянии порядка Ю-"* см могут возникать замедления порядка 1000 м/с, а ускорения в лагранжевой системе измеряются миллиардами g. Ударные волны возникают при обтекании потоком угла, сопровождающемся сжатием, а также при внезапном повышении давления по какой-либо другой причине. Существуют только скачки уплотнения; разрежение протекает непрерывным образом. Гидравлические прыжки и боры (уступообразные волны) представляют собой явления, подобные скачкам.

) Из рассмотрения на молекулярном уровне и из аналогии Рейнольдса (см. Шлихтинг [1968]) следует, что предположение об отсутствии вязкости соответственно подразумевает предположение об адиабатичности.

) Ударная волна представляет собой математический разрыв только в предельном случае невязкого газа; вязкость и теплопроводность сглаживают разрыв. Практически при нормальных условиях толщина ударной волны является величиной порядка средней длины свободного пробега молекул.

Уравнения для случая течения невязкого нетенлопроводного газа ) получаются из приведенных выше уравнений при 1/Re - = О и 1/N = 0. Уравнения для одномерного течения невязкого газа получаются в виде

(4.66а> (4.666)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [ 105 ] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199