Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Уравнения для сверхзвукового течения невязкого газа имеют гиперболический тин. Конечно-разностные уравнения должны в онределенной мере учитывать область зависимости исходных дифференциальных уравнений, что приводит к знаменитому условию устойчивости Куранта - Фридрихса - Леви.

Наиболее серьезные вычислительные трудности, присущие расчету сверхзвуковых потоков, связаны с наличием ударных волн. В пределе при больших числах Рейнольдса ударные волны являются разрывами в решении. Наибольшие усилия снециалистов в этой области были направлены на то, чтобы научиться «размазывать» эти разрывы, сохраняя при этом точность расчета на некотором расстоянии от разрывов. Мы рассмотрим также некоторые методы с выделением скачков, где эти разрывы сохраняются.

4.2. Традиционная форма уравнений

Уравнения неразрывности и количества движения для плоского течения мы приведем в их традиционном размерном виде (см. Шлихтинг [1968]), а уравнение энергии запишем так, как это сделано в книге Овчарека [1964] ) (см. также любой обычный курс газовой динамики, например Шаниро [1953], Липман и Рошко [1957], Чепмен и Уолкер [1971]). Мы рассматриваем совершенный газ, т. е. считаем, что внутренняя энергия ё является только функцией температуры Т, но свойства газа могут быть переменными (черточками сверху, как и ранее, обозначаются размерные величины). Предполагается, что объемные силы отсутствуют, а объемная вязкость й учитывается (до некоторых пор) в коэффициенте Я = й - hv- Итак, указанные уравнения будут такими:

ie + v.(pV) = o,

Du . Dv

дР , д Гс- ди , Tf: дх дх [ дх

V-fdu . dv\-\

дР I д Г- I "1 I

у дх }\дх ду).

2Д + ID

p + V.q-V.(T.V)=-0.

(4.1) (4.2) (4.3) (4.4)

) Вместо малоизвестной у нас книги Овчарека [1964], на которую неоднократно ссылается автор, читатель может каждый раз обращаться к отечественным источникам, например к следующим книгам- Кочип И Е, Ки-бель И А, Розе Н В Теоретическая гидромеханика В 2-х частях -6 е изд , исправл и дон-М- Физматгиз, 1963, Седов Л И Механика сплошной среды В 2-х томах.- 3-е изд, перераб ~М.: Наука, 1976. - Прим ред.



4.3. Консервативная форма уравнений

Уравнения движения невязкой сжимаемой жидкости в консервативной форме были выведены Курантом и Фридрихсом 1948], однако практически их впервые использовал Лаке 1954] для построения консервативной разностной схемы. Если традиционные дифференциальные уравнения преобразованы таким образом, что основными искомыми переменными становятся консервативные величины р, р«, pv и Es (величина, которая будет определена ниже), то применение к таким уравнениям консервативных конечно-разностных схем обеспечивает сохранение массы, количества движения и энергии. Соотноиле-ния Рэнкина - Гюгонно для прямого скачка) основаны только на этих законах сохранения и не зависят от деталей внутренней структуры скачка. Отсюда следует, что все устойчивые аппроксимирующие консервативные разностные схемы, примененные

) Некоторые расчеты (Кенцер [19706]) были проведены с заменой уравнения (4.4) уравнением для давления

дР dt

a + v + yPD \- дх ду

(4.5)

где Y = CplCv - отношение удельных тенлоемкостей. При выводе этого уравнения использовалось уравнение состояния совершенного газа

P = pRf. (4.6)

Уравнение (4.4) является более общим и более употребительным, так что мы в этой книге будем иметь дело только с ним.

) Значением торможения или полным значением называется то значение какой-либо газодинамической величины, которое получилось бы при переходе течения обратимым образом в состояние покоя.

*) См., например, Овчарек [1964] или любой другой курс газовой динамики.

Здесь) Z)/Z)?= 5/5? + u(5/(5x + y<5/<5y -субстанциональная производная, D = ,y-V - дивергенция скорости, es = ё -J- V/2 - внутренняя энергия торможения 2) на единицу массы, q"-вектор потока тепла, Т - тензор полных напряжений. Для определения этих величин необходимы дополнительные соотноиления. В компоненты тензора Т входят как давление, так и вязкие напряжения. Гравитационная постоянная, используемая Шлнхтин-гом [1968], в приведенную систему ие введена явно, но неявио она включается в принятую здесь систему единиц.



) Отметим, что использование исходных уравнений в консервативной форме само но себе ие обеспечивает сохранение массы, количества движения и энергии; необходимо также, чтобы сам конечно-разностный метод был консервативным.

к уравнениям в консервативной форме, удовлетворяют соотношениям Рэнкина - Гюгонио и, следовательно, дают правильные условия на разрыве).

В работе Лонгли [1960] были опробованы четыре различные разностные схемы, и при этом оказалось, что из-за использования уравнений в консервативной форме все они дают правильные значения скорости скачка. Гари [1964] показал, что применение схемы Лакса - Вендроффа к уравнениям в неконсервативной форме приводит к значительным погрешностям в величине скорости скачка (хотя волна разрежения рассчитывается несколько точнее).

Многие последующие расчеты подтвердили, что применение уравнений в консервативной форме дает более точные результаты при расчете течений со скачками (не считая схем с выделением скачков, которые будут обсуждаться ниже). Это легко понять, рассматривая стационарный прямой скачок. Ошибка аппроксимации конечно-разностных уравнений зависит от величины отброшенных высших производных при разложении в ряды Тейлора. В переменных р, и, v, Т наличие скачка вызывает разрыв в решении, в то время как в консервативных переменных решение непрерывно (однако на движущихся и косых скачках и консервативные переменные также могут претерпевать разрыв).

Еще одним преимуществом использования уравнений в консервативной форме является то, что в этом случае конечно-разностные уравнения можно интерпретировать как интегральные законы сохранения для контрольного объема, равного ячейке разностной сетки, как это обсуждалось в гл. 3 (разд. 3.1.3). При такой интерпретации нет необходимости в каких-либо предположениях о непрерывности функций. Поэтому интегральные формы предпочтительнее, и многие полагают, что все физические законы следует записывать в интегральной форме. Конечно-разностные аналоги уравнений Навье-Стокса в интегральной форме выведены в работах Аллена [1968] и Рубина и Прейзера [1968, 1970].

Для устранения громоздкости опустим черточки над размерными величинами и в уравнениях, связывающих размерные величины, будем ставить над знаком равенства букву р.

Уравнение неразрывности (4.1) уже записано в консервативной форме. Консервативную форму других уравнений можно получить путем преобразований, подобных следующим. Рассмот-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199