Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

позволяющем явным образом выразить через значения переменных на предыдущих временных слоях. Однако такая схема в действительности оказывается неприемлемой. Для всех а > О и всех возможных > О эта схема численно неустойчива, т. е. приводит к возникновению хаотических решений, не имеющих отношения к решению дифференциального уравнения. Такое поведение подчеркивает различие между точными конечно-разностными аналогами для производных и точным аналогом дифференциального уравнения.

Если вместо центральных разностей в нестационарном члене использовать разности вперед по времени, то получится разностный аналог линейного модельного уравнения, имеющий второй порядок точности по пространственной переменной и лишь первый по времени

-Tt----Ш-+ "-А]Р-• (3.18)

Эту схему с односторонними разностями вперед по времени и центральными (симметричными) разностями по пространственной переменной иногда называют схемой ВВЦП (схемой FTCS).

В дальнейшем будет показано, что эта схема устойчива (по крайней мере при некоторых условиях, наложенных на А/, и, а и Ах). Но прежде чем приступить к исследованию устойчивости, рассмотрим некоторые другие вопросы, связанные с конечно-разностными уравнениями.

3.1.1.6. Основные конечно-разностные формулы; полиномиальная аппроксимация

Другой метод получения конечно-разностных выражений основан на применении аппроксимирующей аналитической функции со свободными параметрами, которая строится по значениям в узлах сетки и затем аналитически дифференцируется. Это обычный метод нахождения производных по экспериментальным данным. В идеале вид аппроксимирующей функции должен определяться приближенным аналитическим решением, однако обычно в качестве аппроксимирующих функций используются полиномы. Мы продемонстрируем настоящий метод на примере параболической аппроксимации.

Предположим, что значения функции / заданы в точках г--1, i и г+1, и проведем параболическую аппроксимацию функции

f(x) = a + bx + cx (3.19)



а разрешая их относительно Ь, находим

" 2Ах

В точке i значение первой производной (3.19) будет б/

(3.21) (3.22)

= [6 + 2cxL o = 6. (3.23)

а значение второй производной

= 2с. (3.24)

Формулы (3.23) и (3.24) с учетом (3.21) и (3.22) в точности совпадают с формулами (3.8) и (3.12) второго порядка с центральными разностями, полученными разложением в ряд Тейлора. Если предположить, что f - полином первой степени, т. е. \ = а-\-Ьх, то в зависимости от того, какие значения используются для определения а я Ь: значения и f,+i или fi и f-i, для б 6д; получаются формулы с разностями вперед или назад соответственно. Очевидно, что при линейной аппроксимации f нельзя получить выражение для bfjbx. Однако если использовать полином первой степени для построения разностных ана-

логов первых производных

г+1/2

, которые соот-

i- 1/2

ветственно представляются разностями вперед и назад, то для 6f/8x получится выражение, совпадающее с выражением (3.12) с центральными разностями.

Разностные формулы для производных более высокого порядка выводятся с использованием полиномов высших порядков. Выражения, полученные при помощи полиномов порядков выше второго, уже не идентичны выражениям, полученным разложениями в ряды Тейлора, и в каждом случае ошибка аппроксимации должна проверяться при помощи разложения в ряд Тейлора. В вычислительной гидродинамике метод полиномиальной аппроксимации, как правило, применяется только для вычислений значений производных вблизи границ (см. разд. 3.3.2).

Теперь отметим недостатки полиномиальных аппроксимаций

причем для удобства за начало координат (х = 0) примем точку i. Тогда уравнение (3.19), записанное в точках i-1, i и t + 1 соответственно, даст

fi i=-a-bAx + cAx\ и = а. f= а + 6 Лд; + с Ад;. (3.20) Складывая первое и последнее из этих равенств, получаем



1-г 1-2 М i i+1 <+2 i+3 а

4-3 i-Z М L i+1 <+2 irЪ 6

Рис. 3.3. Полиномиальная аппроксимация шестого порядка, а - алгебраические идеальные данные, б - данные с добавлением шумовых возмущений.

определяться этими искаженными данными, и тогда аналитическое вычисление производных в точке i может привести к абсурдным результатам), что можно усмотреть на рис. 3.3,6.

Квадратичная аппроксимация не может отразить наличие точки перегиба в рассматриваемых данных, т. е. точки, где дЩдх - 0. По этой причине для анализа имеющихся данных может быть оправдано использование полиномиальных аппроксимаций третьего порядка. (Часто используются сплайн-функции, гарантирующие непрерывность производных при переходе от одной узловой точки к другой.) В нашем случае уравнения, описывающие рассматриваемое физическое явление, не зависят от наличия точки перегиба или от третьей производной, поэтому нет необходимости останавливаться на этом вопросе.

3.1.1.в. Основные конечно-разностные формулы; интегральный метод

В интегральном методе требуется приближенно удовлетворить основным уравнениям, записанным в интегральной, а не

) Чувствительность полиномиальных аппроксимаций можно уменьшить, если для полинома iV-ro порядка взять данные в ЗЛ или 4yV точках. Коэффициенты полиномов в таких случаях находятся не алгебраически, а методом наименьших квадратов. Этот требующий много времени метод обычно не используется, за исключением некоторых случаев, связанных с рассмотрением граничных условий (см. разд. 5.7.6).

высшего порядка, хорошо известные специалистам, обрабатывающим данные измерений. С увеличением порядка аппроксимации они становятся чувствительными к «шумам», т. е. к более или менее случайно распределенным малым ошибкам в данных. Так, полином шестой степени, график которого проходит через семь точек, точно расположенных на одной прямой, приводит к аппроксимации в виде прямой, изображенной на рис. 3.3, а. Однако при добавлении к аппроксимируемым значениям шумовых возмущений коэффициенты полинома будут уже



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199