Запорожец  Издания 

0 [ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

служить влияние турбулентности в пограничном слое на положение точки отрыва. Существуют также примеры течений, пред-ставляющихся двумерными, но на практике не являющихся таковыми, например течение за линией повторного присоединения оторвавшегося плоского потока и плоское течение над каверной. В подобных случаях кажущееся преимущество точной дву-мерности численного эксперимента может быть обманчивым.

Наконец, следует отметить, что численный эксперимент ограничен в том же смысле, что и физический, а именно дает дискретную информацию для некоторой частной комбинации параметров. Он не может установить какие-либо функциональные зависимости, помимо тех, которые получаются из основных уравнений при помощи анализа размерностей, и следовательно, не заменяет даже простейшей теории.

Итак, вычислительная гидродинамика является отдельной дисциплиной, отличной от экспериментальной и теоретической гидродинамики и дополняющей их. Она имеет свои собственные методы, свои собственные трудности и свою собственную сферу приложения, открывая новые перспективы для изучения физических процессов.

1.2. Исторический обзор)

в 1910 г. Л. Ричардсон представил в Королевское общество пятидесятистраничную статью, которая должна быть признана краеугольным камнем численного анализа дифференциальных уравнений в частных производных. До этого Шепперд выполнил некоторую фундаментальную работу по конечно-разностным операторам, однако вклад Ричардсона затмил все предыдущие исследования. Ричардсон разработал итерационные методы ре-

) В этом историческом обзоре, к сожалению, совсем не дается ссылок на работы советских авторов, которые внесли очень большой вклад в развитие вычислительной математики и вычислительной гидродинамики. Обзор советских трудов по вычислительной математике проведен в статье А. А. Самарского и статье В. В. Бобкова и П. И. Монастырного в книге «История отечественной математики», т. 4, кн. 2.- Киев: Наукова думка, 1970. Большой обзор на эту тему имеется в монографии Г. И. Марчука «Методы вычислительной математики». - Новосибирск: Наука, 1973. Интересные библиографические комментарии содержатся в книге С. К- Годунова и В. С. Рябенького «Разностные схемы». - М.: Наука, 1973. Разностные методы )ешения уравнений Навье - Стокса обсуждаются в обзорной статье 1. Ю. Браиловской, Т. В. Кусковой и Л. А. Чудова [1968] и в статье

A. А. Дородницына в Lecture Notes in Physics, v. 18, 1973. В изданиях ВИНИТИ «Итоги науки и техники» подробные обзоры по отдельным проблемам вычислительной гидродинамики опубликовали В. В. Русанов и

B. В. Поспелов «Исследования течения жидкости и газа» (сб. «Математический анализ», т. 13, М.: 1975) и Г. П. Воскресенский и П. И. Чушкин «Численные методы решения задач сверхзвукового обтекания тел» (сб. «Механика жидкости и газа», т. 11, М.: 1978). - Прим. ред,



шения уравнения Лапласа, бигармонического уравнения и других уравнений. Он установил различие между стационарными задачами в зависимости от того, «можно или нельзя продолжить решение, отправляясь от некоторой части границы», т. е. в современной терминологии различал гиперболические и эллиптические задачи. Ричардсон тщательно изучил численное задание граничных условий, включая граничные условия в угловой точке и на бесконечности. Он получил оценки погрешности, дал метод экстраполяции полученных результатов при стремлении шага сетки к нулю, а также предложил проверять численные решения сравнением с точными решениями для тел простой формы, скажем для цилиндра. Наконец, он впервые фактически применил численные методы к такой практической задаче большого масштаба, как определение напряжений в каменной дамбе).

В итерационном методе Ричардсона для эллиптических уравнений на п-и итерации поочередно в каждом узле расчетной сетки удовлетворяется конечно-разностное уравнение, содержащее «старые» значения на (м - 1)-й итерации в соседних узлах. В I9I8 г. Либман показал, что можно значительно увеличить скорость сходимости просто за счет использования «новых» значений в узлах, как только они вычислены. В этой схеме «непрерывных замещений» на каждой п-я итерации используется некоторое число старых значений с (м - 1)-й итерации и некоторое число новых значений с п-й итерации в соседних узлах. В каждом цикле итерационного метода Либмана наибольшие погрешности уменьшаются так же, как в двух циклах итерационного метода Ричардсона (Франкел [1950]).

Это сравнение служит примером специфики численного анализа уравнений в частных производных. Оказывается, что небольшое изменение конечно-разностных аппроксимаций, итерационных схем или трактовки граничных условий может дать большой выигрыш. Напротив, некоторые правдоподобные и на первый взгляд точные численные схемы могут приводить к пол-

) Ричардсон занимался (применительно к вычислениям вручную) и тем, что теперь называют анализом экономической эффективности метода расчета. Он писал: «Пока что я платил за расчет одного координатного узла лапласиана по расценке «/18 пенсов, где п - число цифр, с которыми проводятся вычисления. Основная ошибка вычислителей состояла в том, что они путали знаки «плюс» и «минус». Что касается скорости расчетов, то один из самых быстрых работников рассчитывал за неделю в среднем 2000 узлов лапласиана с трехзначными числами; ошибочные расчеты не оплачивались» (Ричардсон [1910, с. 325]).

Мы должны благодарить судьбу за то, что с 1910 г. социальные условия изменились. Многие из современных вычислителей-гидродинамиков окончили бы свои дни в богадельне, если бы они получали определенную плату за один расчет и при этом «ошибочные расчеты не оплачивались».



ной катастрофе. Классическим историческим примером здесь является явная схема Ричардсона для параболического уравнения теплопроводности, в которой использовались конечно-разностные аппроксимации производных центральными разностями как по пространственным переменным, так и по времени. ОБрайен с соавторами [1950] показал, что эта схема безусловно неустойчива ).

До появления ЭВМ основное внимание уделялось эллиптическим уравнениям. Первое строгое математическое доказательство сходимости и оценку погрешности итерационного метода Либмана для решения эллиптических уравнений дали Филлипс и Винер [1923]. В 1928 г. появилась классическая работа Куранта, Фридрихса и Леви. Эти авторы в основном интересовались использованием конечно-разностных методов как инструмента для исследований в чистой математике. Дискретизируя дифференциальные уравнения, доказывая сходимость дискретной системы к дифференциальной и, наконец, устанавливая существование решения дискретной системы алгебраическими методами, они доказывали теоремы существования и единственности для эллиптических, гиперболических и параболических систем дифференциальных уравнений 2). Эта работа определила направление практического получения конечно-разностных решений в последующие годы.

Первое численное решение уравнений в частных производных для задач гидродинамики вязкой жидкости было дано Томом в 1933 г. В 1938 г. Шортли и Уэллер разработали метод, являвшийся, по существу, более сложным варианнтом метода Либмана. Они предложили блочную релаксацию, метод пробной функции, релаксацию погрешности, методы измельчения сетки и экстраполяцию погрешности. Они также впервые точно определили и исследовали скорость сходимости.

Саусвелл [1946] разработал более эффективный метод релаксации для численного решения эллиптических уравнений. В его методе релаксации невязки) не проводятся вычисления последовательно в каждом узле сетки, а просматривается вся сетка для нахождения узлов с максимальными невязками и именно в этих узлах вычисляются новые значения. (В случае

) Эта неустойчивость не проявилась в расчетах самого Ричардсона из-за малого числа рассчитанных шагов по времени,

2) Значение работы Куранта, Фридрихса и Леви [1928] обсуждалось в трех статьях, опубликованных вместе с английским переводом этой работы в марте 1967 г. в IBM Journal (Лаке [1967], Партер [1967], Вндлунд [1967]).

) Раньше термин «релаксация» относили только к методу Саусвелла релаксации невязкн. Мы используем термин «релаксация невязкн», чтобы отличить этот метод от итерационных методов типа метода Лнбмана, которые в настоящее время также называют релаксационными.



0 [ 1 ] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199