Запорожец  Издания 

[ 0 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Гидродинамика особенно изобилует нелинейностями (Эймс 1965]), как это хорошо знает каждый изучающий ее студент. Она также изобилует уравнениями в частных производных смешанного, гиперболического и эллиптического типов, математическими особенностями различных видов, задачами с граничными условиями на бесконечности. В прошлом гидродинамика в значительной мере стимулировала развитие теории уравнений в частных производных, теории функций комплексного переменного, векторного и тензорного анализа, нелинейных математических методов. Не удивительно поэтому, что в настоящее время гидродинамика, с одной стороны, извлекает большую выгоду из применения численных конечно-разностных методов исследования, а с другой стороны, вносит значительный вклад в их развитие.

Однако в настоящей книге мы не касаемся всех разделов численного анализа, используемых в гидродинамических задачах. Мы не рассматриваем интересную двухточечную краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая играет столь важную роль при расчете автомодельных решений теории пограничного слоя; мы не рассматриваем даже практически важного метода характеристик. Вместо этого мы сосредоточим свое внимание на новой, только еще появляющейся дисциплине, которую, по-видимому, лучше всего было бы назвать численным моделированием в гидродинамике. В настоящее время все чаще входит в употребление термин «вычислительная гидродинамика», который почти не отличается от более широкого термина «численная гидродинамика»).

1.1. Область вычислительной гидродинамики

В прошлом гидродинамика, как и другие физические науки, делилась на теоретическую и экспериментальную части. Зададимся вопросом: в каком отношении к этим старым частям на-

) Заметим, что автор использует как термин «вычислительная гидродинамика» (computational fluid dynamics), так и термин «численная гидродинамика» (numerical fluid dynamics). -Яр«.и. ред.



ходится вычислительная гидродинамика? Можно ответить, что она является отдельной дисциплиной, хотя и обладает некоторыми чертами обеих этих частей и скорее дополняет, чем заменяет их.

Вычислительная гидродинамика, конечно, не является чисто теоретической наукой (если таковые вообще существуют) - она ближе к экспериментальной.

Существующая ныне математическая теория численного решения нелинейных уравнений в частных производных пока еще неадекватна: нет строгого исследования устойчивости, строгих оценок погрешностей и доказательств сходимости. Некоторые успехи достигнуты в доказательствах существования и единственности решений, но их не достаточно для того, чтобы дать недвусмысленный ответ на отдельные вопросы, представляющие известный интерес.

Поэтому в вычислительной гидродинамике приходится в основном полагаться на строгое математическое исследование упрощенных линеаризованных задач, имеющих большее или меньшее отношение к данной задаче, а также на эвристические обоснования, физическую интуицию, результаты продувок в аэродинамических трубах и на процедуры проб и ошибок.

Специалист по прикладной математике Био (см. Био [1956]) сделал некоторые замечания относительно прикладной математики вообще, которые сегодня кажутся особенно подходящими к вычислительной гидродинамике. Процитировав Бейтмена, охарактеризовавшего математика-прикладника как «математика без математической добросовестности», Био переходит к обсу ждению отношений между математиком-прикладником и чистой математикой: «Можно понять чувства художника, которому в процессе творчества постоянно напоминали бы о необходимости строгого следования законам физики и психологии, хотя изучение науки о цветовых сочетаниях для него, безусловно, полезно». Начинающего изучать вычислительную гидродинамику необходимо предупредить, что в этой области требуется по меньшей мере столько же искусства, сколько и науки.

Численное моделирование гидродинамических задач, таким образом, ближе к экспериментальной, чем к теоретической, гидродинамике. Проведение каждого отдельного расчета на ЭВМ очень похоже на проведение физического эксперимента. Здесь исследователь «включает» уравнения, а затем следит за тем, что происходит; именно то же самое делает и экспериментатор. При проведении расчетов возможны открытия новых физических явлений; так, Кемпбелл и Мюллер [1968] открыли один случай дозвукового отрыва в численном эксперименте и лишь после этого обнаружили его при экспериментах в аэродинамических трубах. Однако исследователь, проводящий численный



эксперимент, имеет некоторые преимущества. Он может произвольно задавать такие свойства жидкости, как плотность, вязкость и др., причем при определении значений гидродинамических величин в поток не вносится возмущений. Вычислитель может проводить чисто двумерный эксперимент, фактически неосуществимый в лабораторных условиях. Он не стеснен в выборе параметров течения, т. е. может произвольно выбирать начальные толщину пограничного слоя и профиль скорости независимо от числа Рейнольдса на единицу длины и числа Маха, что невозможно при эксперименте в аэродинамических трубах. Вероятно, наиболее важен тот факт, что экспериментатор-вычислитель может делать то, чего не может сделать ни теоретик, ни экспериментатор-физик: он может проверить, как на данное физическое явление влияет в отдельности каждое из независимых упрощающих физических предположений, таких, как постоянство коэффициента вязкости, пренебрежение архимедовой силой, равенство числа Прандтля единице, предположения теории пограничного слоя и т. д. (Напомним старый анекдот о новичке, который для экспериментов в аэродинамической трубе заказал железнодорожную цистерну с невязким нетеплопроводным совершенным газом.) Вычислитель может проверить и адекватность основных уравнений состояния в случае, например, какой-либо новой неньютоновской модели жидкости.

Однако численный эксперимент никогда и ни в коей мере не может заменить ни физический эксперимент, ни теоретический анализ. Одна из очевидных причин этого заключается в том, что уравнения состояния сплошной среды никогда нельзя считать точными, а другая - в том, что экспериментатор-вычислитель не работает с дифференциальными уравнениями движения сплошной среды. При этом не важно, что рассчитываемые дискретизированные уравнения точно переходят в исходные дифференциальные уравнения в предельном случае измельчения сетки, так как таковой предел никогда не достигается.

Процесс дискретизации уравнений часто меняет не только количественную точность, но и качественное поведение решений. Так, некоторые виды дискретных аналогов привносят своего рода вязкостные эффекты, даже если исследователь намеревался иметь дело с уравнениями для невязкой жидкости. Другим очень важным ограничением является неспособность численного эксперимента надлежащим образом учитывать турбулентность и вообще такие физические явления (турбулентность, линии скольжения, вихри, срывающиеся с острых кромок), которые имеют слишком малый масштаб, чтобы быть с достаточной точностью разрешенными на конечно-разностной сетке, и в то же время могут оказывать существенное влияние на крупномасштабные свойства течения. Примером такого явления может



[ 0 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199